1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 课件（共18张PPT）2024-2025学年第二学期湘教版（2025）数学七年级下册

(课件网) 1.2 乘法公式 第1章 整式的乘法 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 学习目标 1.理解并掌握乘法公式.（重点） 2.会灵活选用合适的乘法公式解决问题.（难点） 我们已经学了哪些乘法公式？ （1）平方差公式： (a + b)2 = (a + b)(a - b) = （2）完全平方公式： a - 2ab + b a + 2ab + b (a - b) = a - b 注意：公式中的 a 与 b 既可以是数，也可以是单项 式或多项式. 根据式子特征，灵活运用乘法公式， 往往给我们的解题带来方便！ 怎样计算下列各题？ （3）(x + y + 4)(x + y - 4). （1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)； （2）(a + 3)2 (a - 3)2； 运用乘法公式进行计算 讨论：选择什么 方法呢？ 1 平方差公式 = x4 - 1. （1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)； 交换律 （2）(a + 3)2 (a - 3)2. = a4 - 18a2 + 81. 逆用积的乘方 平方差公式 完全平方公式 解：原式 = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1) = (x2 - 1)( x2 + 1 ) 解：原式 = [(a + 3)(a - 3)]2 = (a2 - 9)2 （3）(x + y + 4)(x + y - 4) . = (x + y)2 - 16 = x2 + 2xy + y2 - 16. 平方差公式 完全平方公式 注意：把 (x + y) 看作一个整体，那么 (x + y) 就相当于平方差公式中的 a，4 就相当于平方差公式中的 b. 解：原式 = [(x + y) + 4] [(x + y) - 4] 例1 用乘法公式计算下列各题 = x4 - 81. = 16x4 - 72x2 + 81. 运用什么运算律？ 积的乘方的逆用 (2) (2x + 3)2(2x - 3)2 总结： 要根据具体情况灵活运用运算律、乘法公式、幂的运算法则（正用与逆用）. 交换律 典例精析 例2 怎样才能用完全平方公式呢？ 运用乘法公式计算： （1）(a + b + c)2； （2）(a + b - c)2. 根据计算结果，你能发现什么规律？ (a + b - c)2 = [(a + b) - c]2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2 = a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc. = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. 解：(a + b + c)2 例3 运用乘法公式计算：(a – b + c)(a + b – c). 方法总结：1.选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 2. 式子变形添括号时注意符号的变化. 解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)] = a2 – (b – c)2 = a2 – (b2 – 2bc + c2) = a2 – b2 + 2bc – c2. 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)． 针对训练 ＝1－4x2＋4xy－y2. 解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc. (2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)] ＝12－(－2x＋y)2 例4 运用乘法公式计算: (x + y)3 解：(x + y) = (x + y)( x + y) = (x + y)(x + 2xy + y2) = x + 2x y + xy2 + yx + 2xy + y3 = x + 3x y + 3xy + y . 思考 先填空：(1) 152 = 100×1×___ ＋ 25； (2) 252 = 100×2× ＋ 25； (3) 352 = 100× × ＋ . 由此猜测：十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100×___× ＋ . 2 3 3 4 25 a a＋1 25 10a + 5 思考 十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数是10a + 5. 由完全平方公式 1 得 (10a + 5) = (10a) + 2·10a·5 + 5 =100a + 100a + 25. 又100a(a + 1) + 25 = 100a + 100a + 25，于是 (10a + 5) = 100a(a + 1) + 25. 因此，十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数的平方，等于其十位数字 a 与 a + 1 的积的 100 倍，再加上 25. 例如，85 = 100×8×9 + 25 = 7225. 例5 一个正方形花圃的边长增加到原来 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 ，求这个正方形花圃原来的边长. 解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m. 由数量关系，得 (2x +1)2= 4x2 ... ...