1.2.1 平方差公式 课件（共34张PPT）2024-2025学年第二学期湘教版（2025）数学七年级下册

(课件网) 1.2 乘法公式 第1章 整式的乘法 1.2.1 平方差公式 学习目标 1. 理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简 单的运算.（难点） 多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x＋5) = x2＋5x＋3x＋15 = x2＋8x＋15. ( a + b )( m + n ) = am + an + bm + bn 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少 5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他 把这事和邻居们－讲，大家都说： “张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你觉得张老汉是否吃亏了 ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (x + y)(x - y)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. 平方差公式 合作探究 1 ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (x + y)(x - y) = x2 - y2 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2－12 = m2－22 = x2－y2 = (5y)2－z2 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. (x + y)(x y) = x2 y2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (x – y) (x + y) = x2 y2， (y + x)( y + x ) = x2 y2. 平方差公式： 知识要点 平方差公式 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个 多项式等． (x + y)(x - y) = x2 - y2 相同为 x 相反为 y 适当交换 合理加括号 例1 计算：(1) ( 2x ＋1)( 2x －1 )； (2) (x＋2y)(x－2y). 解：(1) 将平方差公式中的 x 用 2x 代替，y 用 1 代替， 可得 典例精析 分析：(1)(2)中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可利用该公式进行计算. (2x＋1)(2x－1)＝ (2x)2－12 ＝4x2－1. 看作 x 看作 y 例1 计算： (2) ( x ＋ 2y )( x － 2y ). 解：将平方差公式中的 y 用 2y 代替，可得 典例精析 (x＋2y)(x－2y)＝ x2－(2y)2 ＝x2－4y2. 看作 y 例2 运用平方差公式计算: . 解：将平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 y 代替，可得 ＝ ＝. 练一练：口答下列各题： (l) (－x + y)(x + y) =_____. (2) (x－y)(y + x) = _____. (3) (－x－y)(－x + y) = _____. (4) (x－y)(－x－y) = _____. x2－y2 x2－y2 y2－x2 y2－x2 填一填： x y x2－y2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 (0.3x)2－12 (x + y)(x - y) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + a)(-1 + a) 例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a). 典例精析 解：由平方差公式得 (4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b) ＝(4a)2－b2 ＝16a2－b2. 方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式的形式． (1) (－7m＋8n)(－8n－7m)； (2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2. (2) 原式＝(x2－4)(x2＋4) ＝x4－16. 练一练 利用平方差公式计算： 将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？ (a + b)(a b) = a2 b2 平方差公式的几何验证 2 合作探究 a a b b a + b a - b b b 几何验证平方差公式 a a b b a2 - b2 a b b b (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 a - b a - b a a a2 b a a2 - b2 a b b a a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) b a a b (a+b)(a-b) = a2-b2 自主探究 想一想： (1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点： 6×8 = 48 14×16 = 224 69×71 = 4899 7×7 ... ...