15.1.1 从分数到分式 一、分式的概念 1、分数与分式的区别 分数：如，等，是两个整数相除的形式，其中分子和分母都是常数。 分式：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。例如，等。 2、分式有意义的条件 对于分式，当分母B≠0时，分式有意义；当B = 0时，分式无意义。 例1：对于分式，当x - 2≠0，即x≠2时，该分式有意义；当x = 2时，分式无意义。 二、分式的值 1、求分式的值 给定分式和字母的值，将字母的值代入分式中计算。 例2：当x = 3时，求分式的值。 解：将x = 3代入分式，得到。 2、分式值为0的条件 当分式的值为0时，需要满足分子A = 0且分母B≠0。 例3：对于分式，当时，由分子x - 2 = 0，解得x = 2，此时分母x + 3=2 + 3 = 5≠0，所以当x = 2时，该分式的值为0。 练习 题型一、分式的判定 例题：在代数式，，，，中，分式的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 变式1：下列各式：，，，，其中分式共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式2：在，，，，中，属于分式的有_____个。 变式3：下列代数式是分式的是( ) A. B. C.2xy D. 题型二、分式有意义的条件 例题：若分式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 变式1：下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是( ) A. B. C. D. 变式2：若分式有意义，则( ) A. B. C. D. 变式3：x取何值时，下列分式有意义： (1) (2) (3) 题型三、分式无意义的条件 例题：若分式的值不存在，则x的值为( ) A. 3 B.-1 C. D. 变式1：当x = 1时，下列分式没有意义的是( ) A. B. C. D. 变式2：当x = 4时，分式无意义，求m的值为_____。 变式3：按要求填空。 (1) 分式有意义时，x的取值范围是_____。 (2) 分式无意义时，x的值是_____。 题型四、分式值为零的条件 例题：当x =_____时，分式的值为0。 变式1：如果当x = -1时，分式M的值为0，那么M可以是( ) A. B. C. D. 变式2：若分式的值为0，则x的值为 。 变式3：若分式的值为0，则x的值为_____。 题型五、分式的求值 例题：如果，那么代数式的值是( ) A. B. C. D. 变式1： 已知，则 。 变式2：若，则 。 变式3：当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值 。 题型五、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例题：若分式表示的数是负数，则x的取值范围为 。 变式1：已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是( ) A. 且 B. C. D. 且 变式2：若分式有意义，下列说法错误的是( ) A.当时，分式的值为正数 B.当时，分式无意义 C.当时，分式的值为0 D.当时，分式的值为1 变式3：若分式的值为负数，则x的取值范围是_____。 变式4：当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为_____。 变式5：分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式。 我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负。请运用这些知识解决下列问题： (1)如果，求x的取值范围； (2)如果，求x的取值范围。 变式6：已知，x取哪些值时： (1)y的值是零； (2)分式无意义； (3)y的值是正数； 变式7：当x的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 变式8：已知：代数式 (1)当m为何值时，该式无意义？ (2)若该式的值为正数，求m的取值范围； 题型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，。 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式： ； (2)若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 。 变式1：若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和是( ) A. B. C. D. 变式2： ... ...
