(课件网) 北师版·九年级下册 7 切线长定理 1. 直线和圆有哪些位置关系？ 2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法) 相离、相交、相切. (1) 公共点个数 (2) 数量关系法(证明 d = r)； (3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？ 你还有其他的画法吗？ 切线长的定义 1 2 条 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 探究新知 O P A B PA、PB就是点P到⊙O的切线长. 切线与切线长的区别与联系： 探究新知 O P A B 切线是一条与圆相切的直线.不能度量. 切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长.可以度量 O P 如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点. （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 是轴对称图形，对称轴是直线 OP . A B 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点. (2) 在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由. 合作探究 O P A B PA = PB 猜想： 该如何证明？ O P A B 已知：如图，PA、PB 是⊙O的两条切线，A，B 是切点. 求证：PA=PB. 证明：连接 OA，OB. ∵PA，PB 是 ⊙O 的切线， ∴∠PAO = ∠PBO = 90°. 在 Rt△POA 和 Rt△POB中， ∵ OA = OB，OP = OP， ∴Rt△POA ≌ Rt△POB（HL）. ∴ PA = PB. O P A B 切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 符号语言表达 ∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点， ∴ PA=PB . O P A B ∠APO=∠BPO 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 你还知道这两个角是什么关系吗？ O P A B 你还知道这两个角是什么关系吗？ ∠APO=∠BPO ∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO. 符号语言表达 知识要点 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等. 几何语言： ∵ PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B， ∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB. 切线长定理 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？ A B O C D E F G H 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等. 即 AD＋BC＝AB＋CD. 利用切线长定理进行证明 例 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径. B D A F C E O 解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r. 在 Rt△ABC 中， AC = 10，BC = 24， 26 r B D A F C E O 26 r ∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F， ∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，AD = AF，CE = CF. 又∵∠C = 90°， ∴ 四边形 OECF 为正方形. ∴ CE = CF = r. ∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r. ∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r. 而 AB = 26， ∴ 34 – 2r = 26. ∴ r = 4， 即 ⊙O 的半径为 4. 只适合于直角三角形 1. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，如果 AP = 4，∠APB = 40° ， 则 ∠APO = ，PB= . 20° 4 B P O A 第1题 110° 2. 如图，已知点 O 是 △ABC 的内心，且 ∠ABC= 60°， ∠ACB= 80°，则 ∠BOC= . A B C O 3. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF=3，BD + CE=12，则 △ABC的周长是 . A B C F E D O 30 4. 如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD. 若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数. 解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D， ∴ OB 平分∠ABC，OD⊥BC. ∴∠BOD = 90°-∠OBD = 70°. A B C D O 随堂练习 1. 已知⊙O的半径为3cm， ... ...
