3.圆周角 @预习导航 1.圆周角的概念 圆周角： ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角. 推 导：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°( ). 2.圆周角定理 定 理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于该弧所对的圆心角的 ；相等的圆周角所对的弧相等. 3.圆内接多边形 定 义：如果一个圆经过一个多边形的各顶点，这个圆就叫做这个多边形的 ，这个多边形叫做这个圆的 . 4.圆周角定理引出的重要结论 推 论1：90°的圆周角所对的弦是 . 推 论2：圆内接四边形的对角 . 拓 展：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 思路转换：在同圆或等圆中，圆心角相等 圆周角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等，这是连结角、弧、弦关系的重要途径. @归类探究 类型之一 圆周角定理的证明 求证：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 类型之二 圆周角定理及推论的运用 如图，点A、B、C在☉O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是( ) A.54° B.27° C.36° D.108° 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作☉O交AB于点D.求线段AD的长度. 类型之三 圆内接四边形的性质 [2022·宜昌]如图，四边形ABCD内接于☉O，连结OB、OD、BD，若∠C＝110°，则∠OBD的度数为( ) A.15° B.20° C.25° D.30° @当堂测评 1.[2023·广西]如图，点A、B、C在☉O上，∠C＝40°.则∠AOB的度数是( ) 第1题图 A.50° B.60° C.70° D.80° 2.[2022·铜仁]如图，OA、OB是☉O的两条半径，点C在☉O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为( ) 第2题图 A.30° B.40° C.50° D.60° 3.[2023·枣庄]如图，在☉O中，弦AB、CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( ) 第3题图 A.32° B.42° C.48° D.52° 4.[2023·绍兴]如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 . 第4题图 @分层训练 1.如图，☉O是△ABC的外接圆，AC是☉O的直径，点P在☉O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是( ) 第1题图 A.40° B.45° C.50° D.55° 2.如图，在☉O中，若点C是的中点，则图中与∠BAC相等的角(∠BAC除外)有( ) 第2题图 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.[2023·随州]如图，在☉O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 . 4.[2023·宁夏]如图，四边形ABCD内接于☉O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140°，那么∠CDE＝ °. 5.[2023·株洲]如图所示，点A、B、C是☉O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连结BO、CO，并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A＝60°，∠OCD＝40°，则∠ODC＝ 度. 第5题图 6.如图，在☉O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，连结BE.若AB＝2，CD＝1，则BE的长是 . 第6题图 7.如图，在以AB为直径的☉O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G.若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为( ) A.18° B.21° C.22.5° D.30° 8.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，∠DCB＝100°，∠B＝50°.求证：△CDE是等腰三角形. 9.[2022·广东]如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB＝∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； (2)若AB＝，AD＝1，求CD的长度. 10.(推理能力)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别是点E、F. (1)直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论； (2)若AB＝2，CD＝1，求☉O的半径. 3.圆周角 【预习导航】 1.顶点在圆上 相交 直角 2.相等 一半 3.外接圆 内接多边形 4.直径 互补 【归类探究】 【例1】略 【例2】C 【例3】AD＝cm. 【例4】B 【当堂测评】 1.D 2.B 3.A 4.80° 【分层训练】 1.C 2.B 3.30° 4.70 5.80 6.6 7.C 8.略 9.(1)△ABC是等腰 ... ...
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