第五章 平行四边形 专项训练 三角形中位线的应用模型（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第五章 平行四边形 专项训练 三角形中位线的应用模型 类型一 连接两中点或第三边，构造三角形中位线 1.如图1,已知点 E,F,G,H 分别为四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点,连接EF,FG,GH,HE. (1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形(提示:可连接AC或BD); (2)在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点 D，当点 D 在原四边形ABCD 的内部或外部时，图1 依次变为图2、图3.图 2、图 3 中四边形 EFGH 还是平行四边形吗 选择其中之一说明理由. 类型二 利用角平分线+垂直，延长补形造全等，构造三角形中位线 2.如图所示,在四边形 ABCD 中, ∥BD 平分E,F 分别是BD,AC的中点. 求证： 3.已知点 M为 的边BC 的中点，12, 于点D,连接DM. (1)如图1,若 AD 为 的平分线，求MD的长; (2)如图2,若AD为 的外角平分线，求 MD 的长. 4.(1)如图1,BD,CE分别是△ABC的外角平分线,过点 A 作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别是 F,G,连接 FG.求证: AC);[提示:分别延长 AF,AG与直线 BC 相交] (2)如图2,若 BD,CE 分别是△ABC 的内角平分线,过点 A 作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别是 F,G,连接 FG.线段 FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系 写出你的猜想，并给予证明； (3)在(2)的条件下,若 AB=14 cm,AC=9 cm,BC=18 cm,直接写出 GF=_____. 类型三 倍长中线(或过中点的线段)法，构造三角形的中位线 5.如图,在□ABCD中,AB=10,BC=16. E 是边BC 的中点,F是 ABCD内一点,且∠BFC=90°,连接AF 并延长,交 CD 于点G.若 ∥则DG的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.如图, 的中线BE,CF 相交于点G,用图中添加辅助线的方法(延长BE到D，连接 AD)证明: 7.如图所示，在 中,AD 是 BC 边的中线，点F 是AD 的中点，连接 BF 并延长，交AC 于点 E.求证: 类型四 已知两中点，再取一中点，中位线两次用 8.已知在四边形 ABCD 中, 点 M,N 分别是 AD,BC 的中点,则线段MN的取值范围是 ( ) 第8题图 第9题图 9.在四边形 ABCD 中,对角线 且AC=4,BD=8,E,F分别是边AB,CD的中点，则 类型五 已知两边相等，取中点，利用中位线构造等腰三角形 10.如图所示，在 中，点D，E分别为AB,AC上的点,且. 点 M,N 分别是BE，CD的中点.过MN的直线交AB于点 P,交 AC 于点 Q,线段 AP,AQ 相等吗 为什么 11.已知：如图，在四边形 ABCD 中，对角线点 E,F 为AB,CD中点,连接EF,交 BD,AC 于点 P,Q,求证: 12.(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,点 E,F 分别是AD,BC的中点,连接 FE并延长，分别与 BA，CD 的延长线相交于点M,N.求证:∠BME=∠CNE;(提示:取 BD的中点 H,连接FH,HE) (2)如图2,在△ABC 中,F 是 BC 边的中点,D是AC 边上一点,E 是 AD 的中点,直线FE交BA 的延长线于点 G,若AB=DC=2,∠FEC=45°,求 FE 的长度. 参考答案 1.解:(1)证明:如图1,连接AC, ∵E,F,G,H分别为四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA的中点, ∴EF 是△ABC的中位线,GH 是△DAC的中位线， ∥∥∴EF∥GH, ∴四边形 EFGH 是平行四边形； (2)四边形 EFGH 均为平行四边形. 证明(以图2为例)：如图2，连接AC.在△BAC中,∵E,F 分别为AB,BC的中点, ∥ 在△DAC中,∵H,G分别为AD,CD的中点, ∥∴EF∥GH. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 2.证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴∠ADB=∠ABD.∴AB=AD, ∵点E是BD的中点，∴AE⊥BD; (2)延长AE交BC 于点 M, ∵AD∥BM,∴∠ADB=∠DBM. 在△ADE和△MBE中, ∴△ADE≌△MBE(ASA),∴AD=BM,AE=EM. ∵点F是AC的中点， ∥ 3.解:(1)如图1,延长BD 交AC于点E, ∵AD为∠BAC的平分线,BD⊥AD,∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE, ∵AD=AD,∴△ABD≌△AED(ASA),∴BD=DE,AB=AE=12, ∴CE=AC=AE=18-12=6.1 又∵点M 为△ABC的边 BC 的中点,∴DM 是△BCE的中位线, (2)如图2,延长BD,CA,相交于点 E, ∵AD为∠BAC的外角平分线,BD ... ...