4.2.1-4.2.2两角和与差的余弦、正弦、正切公式及其应用 课件（共33张PPT） -2024-2025学年高中数学北师大版（2019）必修第二册

(课件网) 4.2.1-4.2.2两角和与差的余弦、正弦、正切公式及其应用 北师大版（2019）必修第二册 第四章 三角恒等变换 学习目标 能利用Cα±β公式、诱导公式等推导两角和与差的正弦、正切公式． 02 会用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式． 01 熟记两角和与差的三角函数公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算． 03 思考：cos 15°＝cos(45°－30°) ，判断cos(45°－30°) ＝cos 45°－cos 30°是否成立 cos(45°－30°)＝cos 15°＞0，cos 45°－cos 30°＜0， 故cos(45°－30°) ＝cos 45°－cos 30°不成立. 问题1：已知任意角α，β的正弦、余弦，能推出α－β的余弦吗 (可借助向量求解) 因为余弦函数是偶函数，所以可以只讨论α≥β. 如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别记为P，Q， 则点P和点Q的坐标分别为(cos α，sin α)和(cos β，sin β)， 如果0≤α－β≤π，那么可以用向量的数量积求cos(α－β)， 由于向量和向量都是单位向量，它们的夹角是α－β 问题：如图，设角的终边与单位圆的交点分别记为.求 解：由图可得 思考：刚才的解答是否有不足之处？ 诱导公式： 解：如图所示， 总结：显然，对于任意角来说，上述结论都成立，因此我们得到了两角差的余弦公式： 问题1　公式Cα－β在结构上有什么特点？ ①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦； ②将所得的积相加． 问题2　两角差的余弦公式的适用条件是什么？ 公式中的α，β 都是任意角，可以为常量，也可以为变角． ，记作 思考：同学们能否根据公式得出的公式呢？请大家进行小组讨论，并把小组讨论的结果写下来. 这是两角和的余弦公式，记作Cα＋β. 问题1　你能根据余弦两角和差的公式的结构，总结它们的记忆口诀吗？ 余余正正，符号相反． ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦 问题2　如何利用两角差的余弦和两角和的余弦公式求cos15°？ 因为15°＝60°－45°，所以可用两角差的余弦公式求解． ，记作 ，记作 ②“符号相反”表示展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相反 例1 利用两角差的余弦公式求的值. 法1： 法2： 例2 已知 ，求的值. 解：观察已知的两个角，与未知角 之间的运算关系，可以得到 . 因此，求的值可以看成求两个角，和的余弦值 例2 已知 ，求的值. 知识回顾 填空. （1）sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，tan(－α)＝ ； （2） ＝ ， ＝ ； （3）cos(α－β)＝ ， cos(α＋β)＝ . －sin α cos α －tan α cos α sin α cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β 问题1　由公式Cα－β或Cα＋β可求sin 75°的值吗？ 可以，∵sin 75°＝sin(90°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°). 问题2　由公式Cα±β可以得到sin(α＋β)的公式吗？ 可以，sin(α＋β) ＝sin αcos β＋cos αsin β． 尝试推出α－β的正弦公式. sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β) ＝sin αcos β－cos αsin β. 问题1　公式Sα±β的适用条件是什么？ 公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式． 问题2　公式Sα－β，Sα＋β，可记为什么？ 正余余正，符号相同 sin(α＋β)＝sin αcos βsin β，记作 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，记作 ②“符号相反”表示展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相同 ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦 问题1　前面学习的同角三角函数关系中，tan α，sin α，cos α的关系怎样？ 问题2　利用该关系及两角和的正、余弦公式，能用tan α和tan β表示tan(α＋ ... ...