二次函数存在性问题关键题型 期末专项专题练 初中数学人教版九上

中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数存在性问题关键题型 期末专项专题练 2024--2025学年初中数学人教版九年级上学期 1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 2．如图抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线； (1)求抛物线w的函数表达式； (2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如果二次函数的图象的顶点在二次函数为的图象上，同时二次函数的图象的顶点在二次函数的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”． (1)若二次函数与二次函数互为“顶点相容函数”，则_____． (2)如图，已知二次函数的图象的顶点为，点是轴正半轴上的一个动点，将二次函数的图象绕点旋转得到一个新的二次函数的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且的图象的顶点为． ①求二次函数的解析式； ②点为轴上一点，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形 若存在，请求出点M的坐标 若不存在，请说明理由． 6．如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上. (1)如图1，已知点，，在抛物线上，则_____；_____； (2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由； (3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系. 9．如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是第二象限内抛物线上的一个动 ... ...