二次函数的最值问题关键题型 期末专题练 初中数学人教版九上

中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数的最值问题关键题型 期末专题练 2024--2025学年初中数学人教版九年级上学期 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点C为y轴正半轴上一点，且，D是线段上的动点（不与点A，C重合）． (1)写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，当点D关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时D点的坐标； (3)如图2，若点E是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 2．如图，抛物线经过点，交轴于另一点（点在点点的左侧），点是该抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方且时，请求出点的横坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； (4)若点在轴上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标； (3)过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 4．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”． (1)直线上的“互补点”的坐标为_____； (2)直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由； (3)若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，m的最小值为k，求k的值． 7．如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和二次函数图象的顶点坐标． (2)已知点在该二次函数图象上． ①当时，求的值； ②当时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出的值． 8．【问题背景】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式． 【构建联系】 （2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 9．如图，直线与顶点坐标为的抛物线相交于、两点，其中点在轴上． (1)求、两点的坐标． (2)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．设线段长度为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式． (3)为何值时，线段长度最大？ 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． 参考答案： 1．(1)，， (2) (3) （1）根据题意得， 解得，， ∴，， ∴, ∵， ∴． （2）设直线的解析式为， 把，分别代入解析式，得 ， 故直线的解析式为， 设点， 则其 ... ...