2024.11 东阳中学自主招生数学试卷全解全析 一、选择题 (本题共 20 分, 每小题 4 分) 1.设 ,则代数式 的值是( ) A. B. C. 33 D. 35 2.函数 的图象如图所示,则函 数 的图象与 轴的交点分别是 ( ) A. B. C. D. 题2 题3 题5 3.如图,点 是以原点 为圆心的圆与 轴的一个交点,直线 交 于 两点,已知弦 的最小值为 2,则点 的坐标为( ) A.(2,0) B. C.(3,0) D. 4.对于反比例函数 ,如果当 时有最大值 ,则当 时,有 ( ) A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 5.如图, 是 的直径,弦 于点 ,点 是 上一点,且满足 ,连结 并延长交 于点 ,连结 ,若 , . 给出下列结论:① ; ② ; ③ ; ④ . 其中正确的是结论的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 (本题共 20 分, 每小题 4 分) 6.如图,在菱形纸片 中, 为 中点,折叠菱形纸片 ,使点 落在 所在的直线上,得到经过点 的折痕 . 则 的大小为_____度. 题6 题8 7.方程组 的正整数解为_____. 8.如图,在 的正方形网格中, 为格点三角形 (顶点都在格点上),则图中与 相似 (但不全等) 的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为_____. 9.已知函数 ,当自变量 满足 时,函数值 的取值范围是 ,则实数 的取值范围是_____. 三、解答题 (第 10 题 8 分, 第 11-14 题每题 10 分, 第 15 题 12 分) 10.已知有理数 满足 , 求 的值. 设实数 满足 ,求证: 1 . 12.按要求作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹. (1)如图 1, 为 上一点,请用无刻度直尺和圆规作出 的内接正方形； (2)结合几何图形的性质, 只用无刻度直尺作图. ①如图 2,在平行四边形 中, 为 的中点,作 的中点 . ②如图 3,在由小正方形组成的 的网格中, 的顶点都在小正方形的顶点上,作 的高 . 图1 图2 图3 13.如图,在 Rt 两直角边 上分别作正方形 ,正方形 ,连结 . 线段 的中点依次为 , . 若 ,求六边形 的面积. 14.已知二次函数 ,无论 为任何实数,直线 与该二次函数的图像有且只有一个公共点. (1)求 的值. (2)当 时,该二次函数的最小值为 ,求 的值. 15.如图,点 为 外一点,过点 作 的两条切线,切点分别为 . 过点 作 的平行线交 于点 . 连结 交 于点 . 连结 并延长交 于点 . 求证: . 试卷全解全析 一、选择题 (本题共 20 分, 每小题 4 分) 1.解析： 原式 选 D. 2.解析： 由图像可知 ,图像与 轴的交点为 -1 和 3, 根据 变形可得: , 因此 或 或 , 交点 , 选 B. 3. 解析： 设点 坐标 为半径, 因为 ,所以此直线必过定点(-2,2),设该点为 , 连接 ,作过点 的 ,交 于 ,此时 , 根据垂直弦定理, ,所以 , 所以 的坐标为(3,0), 选 C. 4.解析： 当 时, 也小于 0, 可得 ,最大值 在 时取到, 因此当 时,有最大值 . 选 A. 5. 解析： , , 又有 ,① 正确; , , 进一步得 ,②正确; , 由勾股定理可得 , 又 ,可得到 , 结合 ,可推出 ,③正确; 又 , ,④正确; 选 D. 二、填空题 (本题共 20 分, 每小题 4 分) 6.解析： 连接 , , 是等边三角形, , 是 的平分线, , , 又 , 得 . 7. 解析： 由题意得 均为正整数, 由②得 , ,代入①式,得 ,解得 或 21, 所以方程组的正整数解为 或 8.解析： 设小正方形边长为 1,从而 , 最小的三角形边长为 1, , 最大的三角形边长为 , 因此最小的三角形与最大的三角形的面积比值为 . 9.解析： 当 时, ,此时 , 当 时, ,此时 , 因此 ,解得 . 三、解答题 (第 10 题 8 分, 第 11-14 题每题 10 分, 第 15 题 12 分) 10.解析： , 比较系数得 ,解得 . 11.解析： 注意到有 的项存在,考虑应用韦达定理构造一元二次方程. 由题意得 , 因此 为方程 的两根, 因此 , 故 . 12.解析： 此图就是所作的解. 作图思路: (1)连结 并延长交 于点 ,作 中垂线 交 于点 、 ,顺次连结即得 的内接正方形; (2)①连结 、 交于点 ,连结 、 交于点 ,连结 并延长交 于点 ,此为 中点,这里运用了三角形重 ... ...
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