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课件网) 13.4 课题学习 最短路径问题 第十三章 轴对称 造桥选址问题 l B A 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ A B N M 造桥选址问题 探索新知 抽象成 M N 作图问题：在直线l上求作一点M，使AM+MN+NB最短问题. 那么怎样确定AM+MN+BN在什么情况下最短呢？ 探索新知 l M N A' N M A B 平移A到A'，使AA'⊥河岸，并且等于河宽，连接A'B交河岸于N，作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短. 证明:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A'N１. AM＝A'N，AA'＝MN＝M１N１，AM１＝A'N１ 在△A'N１B中，∵A'N1+BN1＞A'B ∴AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN 探索新知 为什么桥的位置建在M、N处，AM+MN+BN在这个位置时最短？ l M1 N1 A' N M A B 由平移性质可知： AM+MN+BN= A'N+AA'+BN =AA'+A'B AM1+M1N1+BN1= AN1+AA1+BN1 ∴桥的位置建在MN处，AM+MN+BN最短. 河 河 A B A B 探索新知 A和B两地在二条河的两岸，现要在河上造二座桥MN、PQ.桥造在何处可使从A到B的路径AMNPQB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ M N P Q 抽象成 M N P Q 河 河 M N P Q B 探索新知 桥MN、PQ.桥造在何处可使从A到B的路径AMNPQB最短 A1 A A2 作法一 还可以怎么作呢？ 作A点的两次平移 河 河 M N P Q B A1 A B1 探索新知 作法二 作A点、B点各一次平移 探索新知 有三条河，修三座桥，桥修到哪个位置呢？ 河 河 河 A1 A2 A3 M N P Q R S A B 有什么规律呢？ 1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（ ） A．P是m上到A、B距离之和最短的点， Q是m上到A、B距离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之和最短的点， P是m上到A、B距离相等的点 C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点 D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点 A 课堂练习 m n A B Q A' P 2.牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米. 1000 课堂练习 A1 A C B D 河 O 3.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P． 课堂练习 O x y A B P A' 4.荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ C C′ A B 课堂练习 A1 E' D D' E M N A2 4.荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？ C C′ A B 课堂练习 B1 A1 D' E' D E 则DD′,EE′即为桥. M N 解：作AA1⊥CM,且AA1=河宽, 作BB1 ⊥CN,且BB1=河宽, 连接A1B1,与河岸相交于E ′,D′. 作E'E⊥CN,交CN于点E. 作D'D⊥CM,交CM于点D. 理由：由作图可知，AA1//DD′，AA1=DD′ ∴四边形AA1D′D为平行四边形 ∴AD=A1D′ 同理，BE=B1E′ 由两点之间线段最短可知： A1B1最小. 5.在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， 点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上， 当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ） A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0） A 课堂练习 B′ C 6.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． （2）如图②，在∠AOB ... ...
