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课件网) 14.2 乘法公式 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2.1 平方差公式 学习目标 1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差 公式的结构特征.（重点） 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点） 导入新课 复习引入 多项式与多项式是如何相乘的？ （x ＋ 3)( x＋5） =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 讲授新课 平方差公式 一 探究发现 面积变了吗？ a米 5米 5米 a米 (a-5) 相等吗？ ①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 算一算：看谁算得又快又准. (a+b)(a b)= a2 b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 知识要点 平方差公式 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) 填一填： a b a2-b2 1 x -3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (a-b)(a+b) 练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=_____. (2)(a-b)(b+a)= _____. (3)(-a-b)(-a+b)= _____. (4)(a-b)(-a-b)= _____. a2-b2 a2-b2 b2-a2 b2-a2 典例精析 例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y). (2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2. 解：（1）原式=(3x)2－22 =9x2－4； 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 针对训练 解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25； (2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2； (3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2； 例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 解: (1) 102×98 （2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = 1002-22 =10000 – 4 =（100＋2）(100－2) =9996； = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1. 通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算. 针对训练 计算: (1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 解: (1) 原式=（50＋1）(50－1) = 502-12 =2500 – 1 =2499； (2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) = 9x2-16-6x2-5x+6 = 3x2-5x-10. 例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 原式＝5×12－5×22＝－15. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时， 例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数． 解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10. ∵(10n2－10)÷10=n2-1. n为正整数， ∴n2-1为整数 方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ ∵a2＞a2－16， 解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16， ∴李大妈吃亏了． 方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式 ... ...
