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课件网) 13.3.2 等边三角形的性质与判定 1．探索等边三角形的性质和判定．（重点） 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．（难点） 学习目标 在一次探究活动中,张老师给同学们出了一道题目:“如果等腰三角形有一个角是60°,那么这个三角形的三边有什么关系？ 一、情景导入 小羊：假设底角为60°,得出了三个角都是60°; 小玲：假设顶角为60°,也得出了三个角都是60° 根据“等角对等边”,最后得出结论:三边都相等。 小羊：三条边都相等的三角形是等边三角形,而不是等腰三角形。 小玲：等边三角形也是等腰三角形,只是比一般的等腰三角形特殊而已 谁说的对呢？ 几何语言表示： ∵ △ABC 是等边三角形 ∴ ∠A =∠B =∠C =60° 等边三角形的性质 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC ∠A=∠B=∠C=60° 内角和为180° 探索新知 ∵AB=AC ∴∠A=∠B ∵AC=BC ∴∠B=∠C ∴∠A=∠B=∠C 已知：AB=AC=BC ，求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. 探索新知 A B C 证明：∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AB=BC ∴∠A=∠C ∴∠A=∠B=∠C ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 ° 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°. A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条 对称轴？ 顶角的平分线、底边的高、 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 探索新知 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线 都“三线合一”. 想一想：等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，还 能用什么来判定？要满足什么条件才能判定？ 探索等边三角形的判定 方法1：三边相等的三角形是等边三角形. 几何语言表示： ∵ AB=AC=BC ∴ △ABC 是等边三角形 探索等边三角形的判定 方法2：三个角相等的三角形是等边三角形. 在△ABC 中，∠A=∠B=∠C． 已知： 求证： △ABC是等边三角形 几何语言表示： ∵ ∠A =∠B =∠C ∴ △ABC 是等边三角形 证明：∵ ∠A =∠B，∠B =∠C ∴ BC =AC， AC =AB ∴ AB =BC =AC ∴ △ABC 是等边三角形 我思我进步 三边相等 三角相等 一个角是60o 探索等边三角形的判定 方法3：有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形. 在△ABC 中，∠A =60°，BC =AC 已知： 求证： △ABC是等边三角形 几何语言表示： ∵ ∠A =60o,BC =AC ∴ △ABC 是等边三角形 证明：∵ ∠A =60o,BC =AC ∴ ∠A =∠B= 60o ∴ ∠C =180o-∠A -∠B= 60o ∴ ∠A =∠B= ∠C ∴ △ABC 是等边三角形 归纳判定等边三角形的方法 方法1：三边相等的三角形是等边三角形. 方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形. 方法3：有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形. 例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠A= ∠B= ∠C ∵DE//BC ∴∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴△ADE是等边三角形 想一想：本题还有其他证法吗？ 典例精析 A B C D E 变式1 等边三角形ABC中若点D、E 在边AB、AC 的延长线上， 且DE∥BC，△ADE是等边三角形？ 变式训练 A B C D E 证明：∵△ABC 是等边三角形 ∴∠A =∠ABC =∠ACB =60° ∵DE∥BC ∴∠ABC =∠D,∠ACB =∠E ∴∠A =∠D =∠E ∴△ADE 是等边三角形 变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC， 求证：△ADE 是等边三角形 变式训练 证明：∵△ABC 是等边三角形 ∴∠BAC =∠B =∠C =60° ∵DE∥BC ∴∠B =∠D，∠C =∠E ∴∠EAD =∠D =∠E ∴△ADE 是等边三角形 A B C D E 证明： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=60° ∵AD=AE ∴△ADE是等边三角形 变式 ... ...
