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课件网) 等边三角形 含30°角的直角三角形的性质 1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 A B C 新知探究 C D 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． 证明：延长BC至D，使CD=BC，连结AD. ∵BC＝DC ，∠ACB=∠ACD，AC=AC ∴ △ABC≌△ADC（SAS） ∴AB=AD ∵ ∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴△ABD是等边三角形 ∴BC＝DC＝ BD= AB 你还有没有其他证明方法？ 补短法 C E 作∠BCE =60°，交AB于E，连接CE. 在BA上截取至BD=BC 新知探究 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． 截长法 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴ BC = AB． 证法2 C E 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB． 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 总结归纳 也可以说成：30o所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言表示：在Rt△ABC 中， ∵ ∠C =90°，∠A =30° ∴ BC = AB． C 在直角三角形中，如果一直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. 交换命题的条件和结论： 小试牛刀 1.如图，在△ABC中， ∠ACB=90 ° ，∠A=30°，CD⊥AB,AB＝4.则BC ＝ ，BD= . 2 1 2.小明沿倾斜角为30 °的山坡从山脚步行到山顶，共走了200 m，山的高度为 _____ m. 100 例题讲解 例1 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、 DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？ 解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A＝30°， ∴ BC＝ AB,DE＝ AD. ∴BC＝ ×7.4＝3.7（m). 又点D是AB的中点， ∴DE＝ AD＝ ×3.7＝1.85（m). 答:立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m. 例2 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. A C B D 15 ° 15 ° 20 ) ) 解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D. ∵∠B=∠ACB=15° (已知), ∴∠DAC =∠B + ∠ACB = 15°+15°=30°， ∴CD= AC= ×20=10. 4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = . 5 5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=_____. A C B 8 3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . A B C D 1 第3题图 第5题图 6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长． 解：连接AE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE=AE， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°． ∵∠C=90°， ∴AC= AE= BE=2.5． 7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°. ∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC ∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°. ∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°， ∴∠ADE=30°，∴AD=2AE. ∴AB=4AE，∴BE=3AE. 课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些疑惑？ 1、性质： 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、归纳： 截长补短法是我们探究线段关系的常用方法； 遇到30°角时常用的辅助线是作垂线，构造直角三角形； 遇到60°或120°角时，常利用截长补短法或作平行线等方法构造等边三角形来解决相关问题。 ... ...
