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课件网) 选择必修 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数 教学目标 学习目标 数学素养 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 1.数学运算素养和逻辑思维素养. 2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.数学运算素养和逻辑思维素养. 温故知新 1.基本初等函数的导数公式 ①若f (x)＝c（c为常数）, 则f '(x)＝0； ②若f (x)＝(α∈Q，且α≠0), 则f '(x)＝； ③若f (x)＝, 则f '(x)＝； ④若f (x)＝, 则f '(x)＝； ⑤若f (x)＝(a>0，且a≠1), 则f '(x)＝； 特别地，若f (x)＝, 则f '(x)＝； ⑥若f (x)＝(a>0，且a≠1), 则f '(x)＝； 特别地，若f (x)＝, 则f '(x)＝. 温故知新 2.导数的四则运算法则： 导数的运算法则1 [f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x). 导数的运算法则2 [f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)； (g(x)≠0). 导数的运算法则3 [cf(x)]′=cf′(x) . . 新知探究 若设，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和复合而成的一个复合函数. 函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数. 下面, 我们先分析这个函数的结构特点. y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1). 如果把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数(composite function). 记作：y=f(g(x)). 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 新知探究 如何求复合函数的导数呢 我们先来研究y=sin2x的导数. 我们遇到的许多函数都可以看成由两个函数经过“复合”得到的.例如函数y= ln(2x－1)由y=lnu和复合而成的.又如y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成. 以表示对的导数，表示对的导数，表示的导数，一方面， 一个合理的猜想是，函数y=sin2x的导数一定与函数y=sinu，u=2x的导数有关. ， 新知探究 如何求复合函数的导数呢 我们先来研究y=sin2x的导数. 以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数，一方面， 一个合理的猜想是，函数y=sin2x的导数一定与函数y=sinu，u=2x的导数有关. ， 另一方面 = ， =2， 可以发现 . 知新探究 复合函数的导数法则： 一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u·u′x. 写成： 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. ⑶求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 注意 ⑴中间变量的选择应是基本初等函数的结构； ⑵求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则； 知新探究 【例1】求下列函数的导数： ⑴y＝; ⑵ ; ⑶. 解： ⑴设 ⑵设则 ∴y′x= . . ∴y′x= . . 知新探究 【例1】求下列函数的导数： ⑴y＝; ⑵ ; ⑶. 解： ⑶设则 ∴y′x= . ． 知新探究 注意： ⑴观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数； ⑵引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算； ⑶用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数. 求复合函数的一般步骤 ①计算过程要发挥中间变量的作用，确保准确识别函数结构，选对求导公式； ②最后结果写成关于的函数，不再出现中间变量. 初试身手 ⑴设 1.求下列函数的导数: ⑴y＝ ; ⑵y＝2; ⑶y＝; ⑷y＝. 解： ⑵设. ∴y′x= . ∴y′x= . 初试身手 ⑶设 1.求下列函数的导数: ⑴y＝ ; ⑵y＝2; ⑶y＝; ⑷y＝. 解： ⑷设. ∴y′x= . ∴y′x= . 知新探究 【例2】求下列函数的导数: ⑴; ⑵ . ... ...
