专题4构造法求数列的通项公式---自检定时练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题4构造法求数列的通项公式--自检定时练--详解版 单选题 1.已知数列中，且，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造法、等比数列的定义和通项公式，结合数列求和中的分组求和法及等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由得， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以， 故选：D. 2.在数列中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，对式子变形得，即，故是常数数列，所以，即可得到通项公式． 【详解】由得 ， ， ， 是常数数列， ， . 故选：C 3.已知在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得； 【详解】解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得． 故选：A 4.已知数列满足，，则=（ ） A．80 B．100 C．120 D．143 【答案】C 【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解. 【详解】解：因为， 所以，即， 等式两边开方可得：，即， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：C． 5．已知数列满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得. 【详解】，即， 可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得， 即. 故选：D. 6.在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出. 【详解】由，得，即， 而，则，即，， 由数列为递增数列，得任意的恒成立， 则，即恒成立， 当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则， 当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：A 多选题 7.已知数列的首项，前n项和为，且，则（ ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【答案】ABD 【分析】分析可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列可得，进而逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 则，即. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确； 对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以不是等差数列，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：ABD. 8.已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】若，则，两式相减可得，可证得为周期2的周期数列，由数列的周期性可判断A，B；若，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式和前项和公式可判断C，D. 【详解】对于A，B，若，则， 两式相减可得，为周期2的周期数列， ，则，故A正确； ，故B正确； 对于C，D，若，则， 可得 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，则，故C错误； ，故D正确， 故选：ABD． 填空题 9.在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】借助待定系数法构造等比数列后可得数列为等比数列，结合等比数列性质即可得解. 【详解】令， 则， 由条件得，解得， 即， 故数列是首项为，公比为4的等比数列， 从而，故. 故答案为：. 10.已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 解答题 1 ... ...