2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的斜率是( ) A. B. C. D. 2.两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为( ) A. B. C. D. 3.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( ) A. B. C. D. 与斜交 4.下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 5.已知点是：上的动点，点，的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 6.冬奥会组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取人进行比拼，记事件“甲被选乙不被选上”，则事件发生的概率为( ) A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，则下列结论错误的是( ) A. 点的轨迹方程为 B. 最大面积为 C. 直线斜率的取值范围是 D. 的取值范围是 8.已知点，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则( ) A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 10.设，若，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 11.抛物线：上的点到直线：的最小距离为，直线经过的焦点，交于、两点，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.圆与圆的公共弦的长为 ． 13.某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了名教师到，，三个县城学校进行教育帮扶指导每个学校至少派人，不同的安排方式共有_____种用数字解答． 14.已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知． 求的值； 求的值． 16.本小题分 直线经过两直线：和：的交点． 若直线与直线垂直，求直线的方程； 若直线与圆相切，求直线的方程． 17.本小题分 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，的右焦点到该渐近线的距离为． 求的方程； 若过的直线与的左、右支分别交于点，，与圆：交于与，不重合的，两点． 求直线斜率的取值范围； 求的取值范围． 18.本小题分 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图，为的中点，是上的动点与点、不重合，是上的动点与点、不重合． 证明：平面； 若点在平面内，当最小时，求； 是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 19.本小题分 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点其中点在轴上方，且的周长为将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后，在新图形中对应点记为，． 当时， 求证：； 求平面和平面所成角的余弦值； 是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：的展开式中，当时，， 因为，，，，，， 所以， 当时，， 所以； 根据题意，令，得， 由知，， 所以． 16.解：直线经过两直线：和：的交点， 联立两直线：和：， 解得，，即交点坐标为， 直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 若直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设 ... ...
