2024-2025学年山东省淄博市某校高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.抛物线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 3.平面内点到，的距离之和是，则动点的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 4.如图，，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、若为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 5.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 6.若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.如图，在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形，且，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 8.已知为坐标原点，椭圆：的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，焦距为，以为直径的圆与椭圆在第一和第三象限分别交于，两点，且，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知双曲线，则不因改变而变化的是( ) A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程 10.在一次歌唱比赛中，以下表格数据是位评委给甲、乙两名选手评出的成绩分数，则下列说法正确的是( ) 甲 乙 A. 甲选手成绩的极差大于乙选手成绩的极差 B. 甲选手成绩的第百分位数小于乙选手成绩的第百分位数 C. 从甲的次成绩中任取个，均大于甲的平均成绩的概率为 D. 从乙的次成绩中任取个，事件“至多个超过平均分”与事件“恰有个超过平均分”是对立事件 11.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的动点，则下列说法正确的有( ) A. 线段长度的最小值为 B. 满足的情况只有种 C. 无论，如何运动，直线都不可能与垂直 D. 三棱锥的体积大小只与点的位置有关，与点的位置无关 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若点是圆：外的一点，则的取值范围是_____． 13.短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于、两点，则周长为_____． 14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：与相交于点，若，则离心率的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为． 求的方程； 直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 16.本小题分 如图，多面体中，平面，，，，，． 在线段上是否存在一点，使得平面？如果存在，请指出点位置并证明；如果不存在，请说明理由； 当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值． 17.本小题分 写出下列试验的样本空间： 随意安排甲、乙、丙、丁人在天节日中值班，每人值班天，记录值班的情况； 从一批产品次品和正品的个数均大于件中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况． 18.本小题分 已知椭圆：的焦距为，且经过点． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ点，是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值． 19.本小题分 已知为抛物线：的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为． 求的方程； 过点作一条直线，交于，两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为动点到点的距离比它到直线的距离小， 所以动点到点的距离比它到直线的距离相等， 由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 则轨迹的方程为． 设，， 因为，两点均在轨迹上， 所以， 两式相减得， 即． 因为线段的中点坐标为， ... ...
