上海市2024学年第一学期高三年级数学期中四校联考 松二、复兴、奉贤、金山 2024.11 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合，，则_____． 2．已知向量，，则在方向上的数量投影为_____． 3．曲线在点处的切线方程为_____． 4．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为_____． 5．二项式的展开式中，常数项为_____． 6．关于的方程的解集为_____． 7．已知，，，则的最小值为_____． 8．《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为_____平方尺． 9．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题．后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数．其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和_____． 10．已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为_____． 11．在中，，，分别是，，的对边，若，则_____． 12．若关于的方程在上有两个不等的实根，则实数的取值范围是_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13．设，则是的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 14．在中，，为中点，，则（ ）． A． B． C．9 D．16 15．已知定义在上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）。 （1）； （2）的图象关于对称； （3）； （4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）． A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，存在正整数，当时， D．当时，存在正整数，当时， 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图： （1）若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？ （2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设为其中达到90分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数是定义在上的奇函数，并且当时， ． （1）求函数的表达式； （2）求关于的不等式的解集． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线． （1）求证：直线平面； （2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知点是圆上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2），是曲线上的两个动点，是坐标原点，直线、的斜 ... ...
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