2025届湖南省衡阳市衡阳县高三一模数学试题（含解析）

2025届湖南省衡阳市衡阳县高三一模 数学试题及参考答案 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.每小题仅有一个选项正确. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 3.已知古典概型的样本空间，“事件”，则命题“事件”是命题“事件与事件相互独立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5.的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6.某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于50%，则至少需要选取（ ）个人. A. B. C. D. 7.已知双曲线：，两焦点分别为，过右焦点作直线交右支于 两点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 8.平面直角坐标系中，若过点，作斜率不为0的直线，使得与正弦曲线的交点中，存在点，满足是线段的中点，则称是曲线的“平均割线”，为“平衡点”，则对任意一个整数，下列描述正确的是（ ） A.为偶数时，存在“平均割线” B.若存在“平均割线”，则唯一 C.若存在“平均割线”，则所有“平衡点”共线 D.若存在“平均割线”，则所有“平衡点”，中间隔相等， 按从小到大顺序排列成等差数列 9.已知一组样本数据：.其中，，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（ ） A.序列不可能既是等比数列又是等差数列 B.若成等比数列，和有3组可能取值 C.若成等差数列，和有3组可能取值 D.若该数据平均数是1，则方差最小值为 10.按指对运算律定义两个函数与，则（ ） A.在定义域上单调递增 B.在定义域上单调递减 C. D.若存在，则 11.，非常熟函数都有，则下列结论正确的是（ ） A. B.若，是偶函数 C.若，则 D.的值不可能是3 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.已知中，是上中线的三等分点满足，记，则 . 13.函数的值域为 . 14.已知由系列圆构成的点集为，图形如图中的阴影部分所示，将平面剩余部分分为内外两部分（空白区域），给出以下命题： ①图形内部空白区域的面积最小值为 ②图形到原点的最小距离为1 ③时，图形关于直线对称 ④时，图形内外边界的长度和为 其中正确的有 . 四、解答题：本题共5小题，第15题12分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，分别为棱和的中点. （1）求证：平面 ； （2）若，且平面平面， 求二面角的余弦值大小. 16.已知函数. （1）若在处的切线方程为，求的值； （2）若时，在上恒成立，求的取值范围. 17.如图，已知点分别是椭圆：的左、右焦点，点是负半轴上的一点，，过点的直线与交于点，. （1）求面积的最大值； （2）设直线的斜率为和直线的斜率为，椭圆上是否存在点，使得为定值，若存在，求出点与值，若不存在，请说明理由. 18.学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有15个台阶，从下至上记台阶所在位置为1-15，同学甲在上楼过程中，每一步等可能地跨1或2个台阶（位置+1或+2）. （1）记甲迈3步后所在的位置为，写出的分布列和期望值； （2）求甲6步内到过位置8的概率； （3）求10步之内同时到过位置10和12的有多少种走法，及发生的概率. 19.某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的15位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为，如图易知,. （1）试写出，作出对应简图，并指出要将披萨给在座的15位小伙伴（不考 ... ...