专题8数列不等式问题(恒成立)--自检定时练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题8数列不等式问题(恒成立)--自检定时练--详解版 单选题 1．已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及与之间的关系，利用等差数列的前项和公式，结合一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由整理得，． 又为等差数列，则， 故．对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C． 2.数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列的通项公式为，且为递增数列，所以对于都成立，即对于都成立，从而求得参数的取值范围. 【详解】因为数列的通项公式为，且为递增数列， 所以对于都成立， 所以对于都成立，即， 所以对于都成立，所以对于都成立， 所以，即的取值范围是， 故选：D． 3.已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知是递增数列，，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得. 【详解】由，当时，成立，即数列递增， 则对于任意的，都有. 已知， 则有恒成立， 即对于任意的都成立， 因为当时，，所以. 故选：A. 4.已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（ ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】利用错位相减法求出，然后得出，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得， 所以， 因为，所以，即恒成立，故. 故选：B. 5.设数列的前项和为，，，若，则正整数的值为（ ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】C 【分析】根据递推关系，构造等比数列求出通项公式，再由分组求和及放缩法得出的范围即可. 【详解】由，两边取倒数可得：， 即，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故， 令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2022． 故选：C 6.已知数列满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的最小值是（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据等比数列求出，求出，求出即可求解. 【详解】因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， ，因为对恒成立， 所以，所以的最小值是1. 故选：B. 多选题 7．已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A．为递减数列 B． C．若，，则的取值范围为 D． 【答案】BD 【分析】由于为等差数列，设公差为d，求出首项和公差，可得、的表达式，即可判断B；结合，判断A；求出、的表达式，结合数列单调性，即可判断C，D. 【详解】由题意知为等差数列，设公差为d， 由，，得， 解得，，则，， 则，B正确， 由，得不为递减数列，A错误， 因为，由于，故， 由于，，故的取值范围为，C错误， 由于，故，故D正确， 故选：BD 8.已知数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则整数的可能值为（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】根据可求出数列的通项公式，即可得的通项公式，利用裂项法求得，根据恒成立，求出m的范围，即可求得答案. 【详解】由题意知数列的前项和为， 故当时，； 当时，， 也适合该式，故， 则， 故， 由于对一切都有恒成立， 故，结合选项知整数的可能值为1，2， 故选：CD 填空题 9.已知是等差数列的前n项和，，则满足的正整数n是 ． 【答案】29 【分析】根据题设不等式关系得、，再由等差数列前n项和公式及相关性质求对应正整数n. 【详解】由，得，由，得， 所以，， 所以满足的正整数n是29． 故答案为：29 10.已知数列的前项和，设，为数列的前项和．若存在使得成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用，的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题，求出实数的取值范围. 【详 ... ...