河南省驻马店高级中学2025届高三上学期期中数学试卷（含答案）

河南省驻马店高级中学 2025 届高三上学期期中数学试卷 一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 2 1.已知复数 = ，则| | =( ) 1+ √ 2 A. B. 1 C. √ 2 D. 2 2 2.已知 ， 为单位向量，若| | = | + |，则 =( ) A. 1 ± √ 3 B. 1 + √ 3 C. 1 √ 3 D. √ 3 1 3.已知等比数列{ }的公比为 ，若 1 + 2 = 12，且 1， 2 + 6， 3成等差数列，则 =( ) 3 3 A. B. C. 3 D. 3 2 2 3 1 4.“ = ”是“sin cos = ”的( ) 4 2 2 2 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知定义在 上的奇函数 ( )满足 ( 1) = (3 )，且在[0,1)上单调递减，若方程 ( ) = 1在[0,1)上 有实数根，则方程 ( ) = 1在[ 1,11]上的所有实根之和为( ) A. 30 B. 28 C. 26 D. 24 9 6.在△ 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若 = ， 2 = ，则 + =( ) 3 4 3 √ 7 √ 3 A. B. √ 2 C. D. 2 2 2 7.已知函数 ( ) = + ， ( ) = 2 + ，若函数 ( )图象上存在点 且 ( )图象上存在点 ，使 得点 和点 关于坐标原点对称，则 的取值范围是( ) 1 1 1 1 A. [ , +∞) B. ( ∞, ] C. [ 2 , +∞) D. ( ∞, ] 2 2 2 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 8.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < )的图象如图所示，点 (0, 1)， ( 0, 1)在曲线 ( )上，若| | = √ 13，则( ) A. = 3 5 B. = 6 1 C. ( )的图象关于点( , 0)对称 2 D. ( )在[7,11]上单调递减 第 1 页，共 7 页 9.电子通讯和互联网中，信号的传输、处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表 3 5 13 示成三角函数(正弦和或余弦函数)的线性组合.例如函数 ( ) = + + + + 的图象就可 1 3 5 13 以近似地模拟某种信号的波形，则( ) A. ( )为周期函数，且最小正周期为 B. ( )为奇函数 C. = ( )的图象关于直线 = 对称 D. ( )的导函数 ′( )的最大值为7 2 2 10.如图所示，在边长为3的等边三角形 中， = ，且点 在以 中点 3 为圆心， 为半径的圆上， = + ，则下列说法正确的是( ) 1 A. ≤ ≤ 1 3 B. 1 2 = + 3 3 9 C. ≤ ≤ 9 2 2√ 3 D. + 的最大值为 + 1 9 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 11.已知向量 , 不共线， = + , = ( 1) 2 ，若 // ，则 = _____． 12.已知数列{ }满足 = ( 1) (2 1)，其前100项中某项正负号写错，得前100项和为 50，则写错的 是数列中第_____项. 2 13.在△ 中，点 ， 分别是线段 ， 的中点，点 在直线 上，若△ 的面积为2，则 + 的最小值是_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题12分) 已知△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 2 = 3 2 + 2，且 = 2 ． (1)求角 的大小； (2)若 + = 6，点 在边 上，且 平分∠ ，求 的长度． 15.(本小题12分) 在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = ． 2 2 (1)求 ； (2)若 = 8， = 5， 是边 上的高，且 = + ，求 ． 第 2 页，共 7 页 16.(本小题12分) 对于数列 = ( + 1)2 ， ∈ ，的前 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对 于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程： 1 1 1 ①为什么 = 可以裂项相消？是因为此数列的第 ， + 1项有一定关系，即第 项的后一部分与 ( +1) +1 第 + 1项的前一部分和为零； ②不妨将 = ( + 1)2 ， ∈ 也转化成第 ， + 1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待 定系数法可得 = ( + )2 [ ( + 1) + ]2 +1 = ( + 1)2 ，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即 可确定系数； ③将数列 = ( + 1)2 ， ∈ 表示成 +1 = ( + )2 [ ... ...