江苏省无锡市辅仁高级中学2025届高三上学期12月调研数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省无锡市辅仁高级中学 2025 届高三上学期 12 月调研数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知 1， 2是两个复数，则“ 1， 2互为共轭复数”是“ 1 + 2为实数”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知集合 = {1,2,3,4,5}，且 ∩ = ，则集合 可以是( ) A. {1,2,3} B. { | 2 > 1} C. { |log2( 2) < 2} D. { |2 > 1} 2 3.已知cos( ) = ， = 3，则cos( + ) =( ) 3 1 1 2 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 1 4.已知向量 ， 满足| | = 4，| | = 2，且 在 上的投影向量为 ，则cos , 的值为( ) 4 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 8 8 5.已知{ }是各项均为正数的等差数列， 为其前 项和，且 6 + 2 7 + 10 = 20，则当 7 8取最大值时， 10 =( ) A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 1 6.若斜率为1的直线 与曲线 = ln( )和圆 2 + 2 = 都相切，则实数 的值为( ) 2 A. 2 B. 0或 2 C. 0或2 D. 2 2 7.已知椭圆 + 2 = 1， 为椭圆上任意一点，过点 分别作与直线 1： = 2 和 2： = 2 平行的直线，4 分别交 2， 1交于 ， 两点，则| |的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.已知某正三棱柱的外接球的表面积为8 ，则该正三棱柱的体积的最大值为( ) A. 4√ 2 B. 3√ 2 C. 2√ 2 D. √ 2 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 1 9.已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 3， +1 = 则( ) 1 2 1 A. 3 = B. > 0 C. = D. = 40 3 5 2024 2 37 10.关于函数 ( ) = 3 3 + 1，下列说法正确的是( ) 第 1 页，共 10 页 A. ( )有两个极值点 B. ( )的图象关于(0, 1)对称 C. ( )有三个零点 D. 2 10°是 ( )的一个零点 11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的 成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操 的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与 围 成的(如图阴影区域)， ， 为 与其中两条曲线的交点，若： = 2，则( ) A. 开口向上的抛物线的方程为 = 4 2 B. | | = 8 C. 直线 + = 截第一象限花瓣的弦长最大值为√ 2 D. 阴影区域的面积不大于32 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知函数 ( ) = ( > 0)，若 ( + )为偶函数，且 ( )在区间(0, )内仅有两个零点，则 的值是 2 _____． 2 2 13.已知 1， 2分别为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过 1的直线与双曲线左支交于 ， 两点，且 1 = 2 1 ，以 为圆心， 2为半径的圆经过点 ，则 的离心率为_____． 14.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ( ≠ ).已知 = 2 ，则 + 的最大值是 _____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 1 设数列{ }是首项为1的等比数列，已知 1, 2 + , 4 3成等差数列，数列{ }满足 2 = ． 2 (1)求数列{ }和{ }的通项公式； (2)记 和 分别为数列{ }和{ }的前 项和，试比较 与 的大小． 16.(本小题15分) 如图，已知直线与抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)交于 ， 两点，且 ⊥ ， ⊥ 交 于点 ，点 的坐 标为(1,1)， 第 2 页，共 10 页 (1)求 的值． (2)若线段 的垂直平分线于抛物线 交于 ， 两点，求△ 的面积． 17.(本小题15分) 已知三棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥平面 ． (1)求证： ⊥ ； √ 5 (2)若二面角 的正弦值为 ，且 = 2， = 1，求 ． 3 18.(本小题17分) 在△ 中，角 ， ， 的对边是 ， ， ，已知 + = √ 2 ， 为常数． (1)若 = 0， = 2.求△ 面积的最大值； √ 2 (2)若 = 1， + = ，求 的值 ... ...