2024-2025学年内蒙古赤峰市名校高三（上）质检数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若复数满足，则的虚部为( ) A. B. C. D. 3.已知，，，若，，三点共线，则( ) A. B. C. D. 4.已知曲线：在点处的切线与直线平行，则该切线方程是( ) A. B. C. D. 5.已知函数的部分图象如图所示，则( ) A. B. C. D. 6.已知在中，是线段上异于端点的任意一点若向量，则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足若，不变，在，后该物体的温度分别为，，且，则下列结论正确的是( ) A. B. C. 若，则；若，则 D. 若，则；若，则 8.在中，，，，点在内部，且，，记，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知命题：，；命题，则( ) A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题 10.已知函数，则( ) A. 为偶函数 B. 的最大值为 C. 在上单调递减 D. 在上有个零点 11.已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数，则 _____． 13.如图，在边长为的正方形中，点在边上，且，则 _____． 14.已知函数，若，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，，，且向量在轴非负半轴上的投影向量为． 求的坐标； 求； 求的面积及外接圆的半径． 16.本小题分 已知的内角，，的对边分别为，，已知的周长为，且，． 求的大小； 求，，的值． 17.本小题分 已知向量，，函数． 将化简成的形式； 将的图象向左平移个最小正周期的单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的单调递增区间； 在的条件下，若，求的值． 18.本小题分 已知的内角，，的对边分别为，，，且． 证明：． 已知为钝角，记． (ⅰ)求的取值范围； (ⅱ)若为边上的中线，求的取值范围． 19.本小题分 已知函数与的定义域的交集为若对恒成立，则称与为同号函数，例如，则函数与为同号函数若存在区间，使得对恒成立，则称与为区间同号函数． 设函数，，，试问这三个函数中是否任意两个都互为区间同号函数？请说明你的理由． 设函数，． 证明：与为同号函数． 若恒成立，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：向量在轴非负半轴上的投影向量为， 设，，舍负， ，； ，，， ； ，， ， 的面积为， ，， 根据正弦定理，外接圆的半径为． 16.解：已知，根据正弦定理可得， 即，即． ，，． ，． 由得 根据余弦定理得，即， ，解得或舍去， 故，． 17.解：向量，， 所以 ． 因为的最小正周期， 所以， 则． 令，得， 故的单调递增区间为． 根据题意可得， 令，则，． 由， 故． 18.证明：由，可得， 由余弦定理，得，所以． 解：由，可得，为钝角，可知边最大，所以． 根据三角形三边的关系，可得；由，得． 所以，结合，解得， 即的取值范围为． (ⅱ)根据为边上的中线，可得， 所以， 所以． 令，则， 因为二次函数在上单调递增， 所以，即的取值范围为． 19.解：这三个函数中任意两个都互为区间同号函数，理由如下： 因为，，， 所以． 则与为区间同号函数． 而，， 而， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以对恒成立， 又，对都恒成立， 所以存在，使得，对都恒成立， 所以这三个函数中任意两个都互为区间同号函数． 证明：因为函数与的定义域的交集为， 当时，，则， 所以，即 ... ...
