专题9数列不等式（有解问题)---自检定时练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题9数列不等式（有解问题)--自检定时练--详解版 单选题 1.已知数列的通项公式，设的前项的和为，则使成立的自然数（ ） A．有最大值63 B．有最小值63 C．有最大值31 D．有最小值31 【答案】B 【分析】数列求和后解不等式 【详解】由得 由得 则，解得 故有最小值63 故选：B 2．设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（ ） A．11 B．12 C．20 D．21 【答案】D 【分析】依题意得，再由列不等式求解即可． 【详解】设等差数列的公差为d， 由，得，得，由于，得， 由，得， 得， 得， 得， 得，且， 则n的最大值为21， 故选：D 3.已知为数列的前n项和，，，若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先有与的关系推得，再用累乘法求出，代入，结合题意即可求解 【详解】因为，， ， ， ， 因此， 由得，解得 因为关于正整数的解集中的整数解有两个，可知， 因此， 所以， 故选：A 4.已知等差数列的前项和为，且，数列满足，若，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知及等差中项的性质求，即可求通项公式，讨论求通项公式，结合已知不等关系求n的最小值. 【详解】由题设，，且， 所以，则，可得， 所以， 由，当时， 两式相减得：，则，显然也满足， 综上，，由，则，可得的最小值为. 故选：C. 5.已知数列前项和满足：，数列前项和满足：，记，则使得值不超过2022的项的个数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据数列前项和与的关系，可得；同理前项和与的关系可得，则可得，判断其单调性，即可求得使得值不超过2022的项的个数. 【详解】解：因为，当时，， 当时，，则符合上式，所以； 又，当时，，所以， 当时，，则，所以是以为首项，公比的等比数列， 所以， 则 所以，即，又递增，递增，所以递增 又，所以 故使得值不超过2022的项的个数为10. 故选：C. 6.设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（ ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】由已知可得是常数列可得的通项公式及的通项公式，运用分离参数求最值可得求（），结合换元法转化为求（）的最小值即可. 【详解】由已知，所以， 所以数列是常数列. 又，所以，即， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故， 由存在，使得成立可知， 存在，使得成立，即， 设，则，从而. 记（）， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，， 所以的最小值是8. 故选：D. 多选题 7.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（ ） A． B．任意的， C．存在，使得 D．数列有最大值，无最小值 【答案】ABD 【分析】根据题设数列递推关系求数列的前两项判断A；由且判断C；根据A、C分析判断B；作差法研究数列单调性，即可判断D. 【详解】令，则，所以， 令，得，又，可得，A正确； 由，，所以，C错误， 由，且，B正确， 由，得，所以 ，即， 所以随的增大而减小，故为正项单调递减的无穷数列，且， 故数列有最大值2，无最小值，D正确； 故选：ABD 8.设分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A．若，，则使的最大正整数的值为15 B．若（为常数），则必有 C．必为等差数列 D．必为等比数列 【答案】BCD 【分析】A由已知可得，且，再应用等差数列前n项和公式及得，即可判断；B由等比数列前n项和公式有，即可判断；C、D根据等差、等比数列片段和的性质直接判断. 【详解】令的公差为，则， 所以，故，且， 使，则， 而，即，故， 所以使的最大正整数的值为30，A错； 令的公比为且，则（公比不能为1）， 所以，即，B对； 根据等差、等比数列片段和的性质知： ... ...