2024-2025学年广东省德庆县香山中学、四会中学高三（上）联考 数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，集合，则等于( ) A. B. C. D. 2.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A. B. C. D. 3.在中，点在边上，记，，则( ) A. B. C. D. 4.已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，，均有成立，则下列函数中符合条件的是( ) A. B. C. D. 5.已知圆柱的高为，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为( ) A. B. C. D. 6.已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为( ) A. B. C. D. 7.已知，则( ) A. B. C. D. 8.已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为( ) A. B. 的最小正周期 C. 有个零点 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设，，为复数，下列命题中正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.如图是函数的部分图像，则( ) A. 的最小正周期为 B. 是函数的一条对称轴 C. 将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 D. 若函数在上有且仅有两个零点，则 11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则( ) A. 存在点，使，，，四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过，，，四点的球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记为等比数列的前项和，若，，则_____． 13.曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为_____． 14.已知若函数有两个零点，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，角，，的对边分别是，，，满足． 求； 已知点在边上，且是的平分线，，求的最小值． 16.本小题分 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且． 证明：面面； 若，，求二面角的余弦值． 17.本小题分 已知函数． 求的极值； 对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 18.本小题分 设数列的前项和为，已知． 证明：数列是等比数列； 若数列满足，，求数列的前项的和． 19.本小题分 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． 证明：函数与不存在“点”； 若函数与存在“点”，求实数的值； 已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由正弦定理得， 因为，所以， 又，所以． 因为是的平分线，所以， 又，所以， 化简得，所以， 所以 当且仅当时，等号成立． 即的最小值为． 16.解：证明：设与交于，连接， 因为侧面是菱形，所以，， 又，所以，又，，平面， 故AB平面，又平面， 故平面平面； 由，，故C，又由知，且，，平面， 故平面． 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则，，，， 由，得， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 故，又二面角为锐角， 故二面角的余弦值为． 17.解：的定义域为， 当时，恒成立，此时单调递增，无极值， 当时，令，得， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时在处取到极小值，无极大值； 对任意时，恒成立，代入化简即恒成立， 令，则， 令，则， 即在区间上单调递减，又， 所以当时，，即，此时单调递增， 当时，，即，此时单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为． 18.解：证明：设数列的前项和为，已知， 当时，得，解得； 由，得， 两式相减可得， 即，又， ... ...
