安徽省示范高中培优联盟2024-2025学年高一（上）冬季联赛数学试题（PDF版，含答案）

安徽省示范高中培优联盟 2024-2025 学年高一（上）冬季联赛数学试题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 = { ∈ |0 < < }, = { ∈ |1 < ≤ 3}，若 ∩ = ，则实数 的值可以为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.下列命题中为真命题的是( ) A. ∈ , 2 > 0 B. , ∈ , 2 + 4 = 3 C. > , 2 > 2 D. ∈ , 3 ∈ 3.下列四个选项中，使 > 成立的 充分不必要的条件是( ) A. > 2 B. ln > ln C. 2 > 2 D. > 4.已知幕函数 ( ) = ( 2 1) 1( ∈ )在(0,+∞)上单调递减，若 (2 ) > (2 1)，则实数 的 取值范围是( ) 1 A. ( ∞, 1) B. ( , 1) ∪ (1,+∞) 2 C. ( ∞, 1) ∪ (1,+∞) D. ( ∞, 1) ∪ (1,2) ∪ (2, +∞) 5.已知6 = 5, = 54, = 3 ，则( ) A. < < B. < < C. < < D. < < 1 3 6.当 ∈ (0, ]时，不等式8 ≤ + 恒成立，则实数 的取值范围是( ) 3 2 1 1 1 1 A. (0, ] B. [ , 1) C. [ , 1) D. [ , 3] 9 9 3 9 7.函数 ( )的定义域为 , ( + 1)为奇函数， ( + 2) + ( ) = ( + 1)且 (2) = 1，则∑8 =1 ( ) =( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 8.我们知道未知数次数最高项次数高于二次的多项式方程称为高次方程，解高次方程的关键是降次，降次 的基本方法是因式分解法和换元法．现需要求解四次方程： 4 6 3 + 6 + 1 = 0.方法如下：显然 = 0不 6 1 1 是方程的根，所以可以两边同除以 2得 2 6 + + 2 = 0，作换元，令 = ，先求解 ，再求解 .则 该四次方程的最大正根为( ) 3+√ 7+√ 20 6√ 7 3+√ 7+√ 20+6√ 7 A. B. 2 2 7+√ 3+√ 20 6√ 7 7+√ 3+√ 20+6√ 7 C. D. 2 2 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列选项中，正确的是( ) 第 1 页，共 7 页 1 1 A. 若 > > 0，则 2 > 2 1 1 B. 若 > > 0，则 + > + C. 若 > , > ，则 > D. 若 > , > ，则 + > + 1 , > 0 10.已知函数 ( ) = { ，令函数 ( ) = ( ) ，则下列选项中，正确的是( ) 2 2 , ≤ 0 A. 函数 ( )的单调递减区间为( 1,0)和(0, +∞) 1 B. 当 = 时，函数 ( )有两个不同的零点 2 C. 当关于 方程[ ( )]2 ( + 1) ( ) + = 0有5个不等根时，则实数 的取值范围是(0,1) D. 若函数 ( 1 1 1 )有3个不同的零点分别为 1 , 2 , 3，则 + + 的取值范围是( ∞, 1) 1 2 3 11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德，牛顿并列 为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为 = [ ]，其中[ ]表示不超过 的最大整数，例如： [2.6]= 2, [ 1.3] = 2.下列关于高斯函数的相关结论正确的是( ) 1 1 A. ∈ , [ ] + [ + ] = [2 + ] 3 3 B. , ∈ , [ ] + [ ] ≤ [ + ] C. D. 方程 2 2[ ] 1 = 0有两个不相等的实数根 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知2 = 25, 3 = 4, 5 = 9，则 = ． 13.若 > 0, > 0, = + 4 + 12，则 的取值范围是 ． 14.定义域为 的函数 ( )，若 ∈ ，使得 ( ) = ( )成立，则称函数 ( )为“局部奇函数”.假设函数 ( ) = 2 + 2 + 1(其中 为自然对数的底数)为定义域为 的“局部奇函数”，则实数 的取值范围 是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知0 < < 1, > 0且 ≠ 1． 4 1 (1)若命题： ( 2 +1) > 0为真命题，求 的取值范围； +1 第 2 页，共 7 页 (2)试比较| (1 )|与| (1 + )|的大小，并证明之． 16.(本小题15分) 已知二次函数 ( ) = 3 2 + + 在 = 2时有最小值2． (1)求 , 的值； 4 4 (2)已知1 < < ，且当 ∈ [ , ]时， ( )的取值范围是[ , ]，求 , 的值． 17.(本小题15分) 2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会 ... ...