2024-2025学年山东省大联考高二上学期12月月考数学试题 一、单选题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，则的元素的个数为( ) A. B. C. D. 2.“为偶函数”的否定是( ) A. 为奇函数 B. 不是偶函数 C. 为奇函数 D. 不是偶函数 3.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 4.若，则( ) A. B. C. D. 5.函数的大致图象为( ) A. B. C. D. 6.已知且，则“为质数”是“为合数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知为常数，，且的最小值为，则的最大值为( ) A. B. C. D. 8.若，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分。 9.下列结论正确的是( ) A. “每个正方体都有六个面”是全称量词命题 B. 函数过定点 C. 函数在区间内必有零点 D. 存在实数，使得为幂函数 10.已知函数，则( ) A. 有最小值 B. 的单调递增区间为 C. 有最大值 D. 的单调递增区间为 11.已知是定义在上的偶函数，且，则( ) A. 的图象关于直线对称 B. 为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12. ． 13.已知为定义在上的奇函数，，当时，为增函数，则的零点个数为 ，的解集为 ． 14.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与过滤时间单位：的函数关系式为，其中都是正的常数．已知在过滤的前消除了的污染物，前消除了的污染物，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.用分数指数幂的形式表示． 计算：． 设，用表示． 16.已知区间的长度均等于． 若集合，求的区间长度； 已知函数，求的值域的区间长度； 若，区间，求的区间长度的最小值． 17.已知函数，且． 若的值域为，求的取值范围； 若，求方程的解集； 当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集． 18.若对任意，都存在，使得成立，则称为在区间上的上层函数． 设函数． 试问是否为在区间上的上层函数？说明你的理由． 若为在区间上的上层函数，求的取值范围． 若函数，且，且为在区间上的上层函数，求的取值范围． 19.设是正比例函数，是反比例函数，且与的图象有公共点，函数． 求 的 解析式； 讨论在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； 若函数在上有两个零点，求的取值范围； 若关于的方程在上有个互不相等的实根，求的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：． 原式． ． 16.解： 由，可得，解得，所以， 又因为，所以 所以的区间长度为． 因为为减函数， 所以的值域为，即， 所以 的 值域的区间长度为． 的区间长度为． 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的区间长度的最小值为． 17.解： 若的值域为，则取遍所有正数， 由，且， 解得． 因为函数为增函数，， 所以． 由，得， 整理得，解得， 故方程的解集为． 当时，的定义域为． 因为，且，所以图象的对称轴方程为． 又在上单调递增，定义域为， 所以所求不等式等价于 解得或，故所求不等式的解集为 18.解： 若为在区间上的上层函数，则在区间上，的最小值大于的最小值．因为在区间上为增函数， 所以． 又，所以不是在区间上的上层函数． 因为与在区间上均为增函数， 所以， 则，即因为，所以， 所以，即的取值范围是． 因为，且，所以在上为增函数，所以． 由对恒成立，得． 当时，在区间上单调递增， 则， 所以，则，又，所以． 当时，在区间上单调递减， 则， 所以，则，这与矛盾，所以不符合题意． 综上，的取值范围是． 19.解： 设． 由题意得，且，得， 则，故． 在上单调递减，在上单调递增． 证明如下： ，且， 则． 当时，， 则，即，所以在上单调递减． 当时，，则，即， 所以在上单调递增． 由，得． 设． 令， ... ...
