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课件网) 第六章 <<< 6.4.3 余弦定理 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(重难点) 3.能够利用余弦定理判断三角形的形状.(重点) 学习目标 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名.现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？本节课我们就来学习一下！ 导 语 一、余弦定理的推导 二、已知两边及一角解三角形 课时对点练 三、已知三边解三角形 随堂演练 内容索引 四、利用余弦定理判断三角形的形状 一 余弦定理的推导 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 问题1 那么c=a-b， ① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c=|c|2， 可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b=a2+b2-2|a||b|cos C. 所以c2=a2+b2-2abcos C. 提示 如图，设=a，=b，=c， 类比问题1的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用a，c和B表示b的相应的表达式. 问题2 提示 类比问题1的推理过程，同理可得a2=b2+c2-2bccos A，b2=c2+a2-2cacos B. 在问题2的探究成果中，若A=90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 问题3 提示 a2=b2+c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例. 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，请从问题1和问题2得到的三个表达式中推导出确定三个角余弦值的公式. 问题4 提示 cos A=， cos B=，cos C=. 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边_____减去这两边与它们夹角的_____ 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=_____， b2=_____， c2=_____ 推论 cos A=_____， cos B=_____， cos C=_____ 平方的和 余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 1. 2.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. (1)余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. (2)余弦定理对任意三角形都成立. 注 意 点 <<< 二 已知两边及一角解三角形 (1)一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是-，求三角形的另一边的长度； 例 1 设a=5，b=3，cos C=-， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=25+9+18=52，解得c=2， 所以三角形的另一边的长度是2. (2)在△ABC中，已知b=，c=，B=30°，解这个三角形. 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B， 得()2=a2+()2-2a××cos 30°， 即a2-3a+10=0，解得a=或a=2. 当a=时，A=30°，C=120°； 当a=2时，a2=20=b2+c2，所以该三角形为直角三角形，且A=90°，C=60°. 反 思 感 悟 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 (1)在△ABC中，C=，AB=7，BC=3，则AC等于 A. B.5 C. D.6 跟踪训练 1 √ 由余弦定理得 72=AC2+32-2×3×AC·cos ， 即AC2+3AC-40=0， 解得AC=5或AC=-8(不符合题意，舍去)， 所以AC=5. (2)在△ABC中，BC=a，AC=b，且a+b=2，ab=2，2cos(A+B)=1，则C 的大小为 ，AB= . ∵cos C=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-， 又∵C∈(0，π)，∴C=， 又∵a+b=2，ab=2， ∴AB2 ... ...
