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课件网) 1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 北师大版（2019）必修第二册 第一章 三角函数 学习目标 已知角 α 终边上的一点，会求sin α，cos α的值 02 借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义 01 情境导入 如果将水车边缘看成一个圆，如何确定水车边缘上的点呢？ 水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产．相传，水车在汉灵帝时由毕岚造出雏形，三国时经孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有1 700余年历史． 可以建立直角坐标系确定水车边缘上的点． 知识回顾 在初中我们是如何定义锐角α的正弦函数和余弦函数的？ 如图， O M P a b c α 在直角△OPM中，sin α＝ ，cos α＝ ． 思考：在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点锐角的正弦值、余弦值与点坐标有什么关系？ x O M y P(u,v) 1 α 这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 显然，是由角唯一确定 过点作轴，垂足为，则 sin ， cos 定义 如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sin α为任意角α的正弦函数，u＝cos α为任意角α的余弦函数. x y O A(1，0) P α M 例1 已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求角α的正弦函数值、余弦函数值. 解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况，设角α的终边与单位圆交于点P(如图)，则点P的坐标为(cos α，sin α)，且OP＝1. 点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ＝ . x y O P α Q 分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M，N， N M 易知△POM∽△QON，所以 ， 即 ， 例1 已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求角α的正弦函数值、余弦函数值. x y O P α Q N M 因为点P和点Q在同一象限，所以sin α和y的符号相同， 当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立. 同理 . 于是得到 ， r 利用角的终边上一点的坐标定义正弦函数、余弦函数 如图，在平面直角坐标系中，设 α 是一个任意角，角 α 终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 比值 叫作角 的正弦函数值，记作sin ，即sin ； 比值 叫作角 的余弦函数值，记作cos ，即cos ； 其中 (1)sin α，cos α是一个整体符号，代表角的一种比值，不能将它们分离开来，单独的“sin”毫无意义，也不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积. 知识剖析 (2)对任意一个给定的角 α，它只有一条终边，从而终边与单位圆只有一个交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的. 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 sin cos r (3)三角函数值只与角 α 的终边所在的位置有关，与点Q在终边上的位置无关. 例2 在单位圆中， （1）画出角α； （2）求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解：（1）如图以原点为角的顶点，以 x 轴的非负半轴为始边， 顺时针旋转，与单位圆交于点P， 过点P作x轴的垂线交x轴于点M， 于是即为所作的角. x y O P α M 例2 在单位圆中， （1）画出角α； （2）求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解：（2）设点P(u，v)，则u x y O P(u,v) α M 所以sin 思考交流：在单位圆中，画出下列各特殊角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值，余弦函数值填入下表. α 0 sin cos 0 1 1 0 思考交流：在单位圆中，画出下列各特殊角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)，并将各特殊角的正弦函数值，余弦函数值填入下表. α π 2π sin cos 0 －1 0 0 1 －1 观察此表格中的数据，你能发现函数sin 和cos的变化有什么特点吗？ 由上表可知， ... ...
