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课件网) 7.2.3 第七章 <<< 同角三角函数的基本关系式 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 学习目标 “一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”一首经典老歌让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现. 导 语 一、利用同角三角函数的基本关系式求值 二、利用同角三角函数的基本关系式化简 课时对点练 三、一般恒等式的证明 随堂演练 内容索引 利用同角三角函数的基本关系式求值 一 提示 对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 观察下表，你能发现什么？ 问题1 α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示 若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α=.因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2+y2=1，即sin2α+cos2α=1. 若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 问题2 同角三角函数的基本关系式 平方关系式：sin2α+cos2α=__； 商数关系式：=_____. 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 1 tan α (1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立. (2)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立，而tan α=仅对α≠+kπ(k∈Z)成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 注 意 点 <<< (1)若cos α=-，且α为第三象限角，则tan α的值等于 A. B.- C. D.- √ ∵cos α=-，α为第三象限角， ∴sin α=-=-=-， ∴tan α===. 例 1 (2)已知sin α+cos α=-，0<α<π. ①求sin αcos α的值； 因为sin α+cos α=-， 所以(sin α+cos α)2=， 即sin2α+cos2α+2sin αcos α=， 所以sin αcos α=-. ②求sin α-cos α的值. 因为0<α<π，sin αcos α<0， 所以sin α>0，cos α<0， 则sin α-cos α>0. sin α-cos α= ==. (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系. (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果. (3)sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α三个式子，已知其中一个可求另外两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法 反 思 感 悟 已知α∈，tan α=2，则cos α+sin α= . 跟踪训练 1 - 由已知得 由①得sin α=2cos α，代入②得4cos2α+cos2α=1， 所以cos2α=， 又α∈，所以cos α<0， 所以cos α=-，sin α=-， 故cos α+sin α=-. 二 利用同角三角函数的基本关系式化简 提示 sin2α+cos2α=1 tan α= 你能发现同角三角函数的基本关系式哪些变形形式？ 问题3 化简： (1)-； 例 2 原式= ===-2tan2α. (2)； 原式= ==1. (3)sin2αtan α++2sin αcos α. 原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α = ==. (1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平 ... ...
