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课件网) 第七章 <<< 7.3.1 正弦函数的性质与图象(一) 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.利用正弦线理解正弦函数的性质. 3.掌握正弦函数的性质及其应用. 学习目标 根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”，因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，因此，可以借助单位圆研究三角函数的性质，这节课就从单位圆入手开启正弦函数性质的学习吧！ 导 语 一、正弦函数 二、函数的周期性 课时对点练 三、正弦函数y=sin x的性质 随堂演练 内容索引 四、正弦函数的奇偶性与周期性 五、正弦函数的值域与最值 六、正弦函数的单调性及应用 正弦函数 一 提示 唯一，纵坐标y=sin α. 角α的终边与单位圆的交点是否唯一？该交点的纵坐标是什么？ 问题1 正弦函数 对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y=sin x是一个函数，一般称为正弦函数. 二 函数的周期性 提示 相等，2π. 角α与α+2kπ(k∈Z)两者的正弦值有怎样的关系？2kπ，k∈Z且k≠0的最小正值为多少？ 问题2 1.周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的_____，都满足f(x+T)=____，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数___称为这个函数的周期. 2.最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个_____，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期. 每一个x f(x) T 最小的正数 (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 注 意 点 <<< 三 正弦函数y=sin x的性质 名称 性质 y=sin x 定义域 ___ 值域 _____ 最值 当且仅当_____时，函数y=sin x的最大值ymax=__； 当且仅当_____时，函数y=sin x的最小值ymin=___ 奇偶性 _____ R [-1，1] 奇函数 x=+2kπ，k∈Z x=+2kπ，k∈Z 1 -1 名称 性质 y=sin x 周期性 最小正周期为2π 单调性 在_____上递增； 在_____上递减 零点 _____ kπ(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) (1)正弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限. (2)正弦函数不是单调函数，但它有无数个单调区间. (3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小. 注 意 点 <<< 四 正弦函数的奇偶性与周期性 (1)f(x)=cos+x2sin x的奇偶性是 . 例 1 f(x)=sin x+x2sin x， ∵x∈R，f(-x)=sin(-x)+(-x)2sin(-x) =-sin x-x2sin x=-f(x)， ∴f(x)是奇函数. 奇函数 (2)判断等式sin=sin是否成立？如果成立，能否说明是 函数y=sin x的周期？ sin=sin =sin=-sin， 而sin=-sin， 所以上述等式成立， 但不能说明是函数y=sin x的周期， 理由如下，若是函数y=sin x的周期， 则对任意的实数x，都有sin=sin x， 但当x=0时，sin≠sin x， 所以不是函数y=sin x的周期. 反 思 感 悟 (1)定义法求函数的周期：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T，该方法主要适用于抽象函数. (2)定义法判断函数的奇偶性：从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再依据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)来判断. (1)函数y=|sin x|，x∈R的最小正周期为 . 跟踪训练 1 设f(x)=|sin x|， ∵f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x)， ∴y=|sin x|的最小正周期为π. π (2)函数f(x)=xsin(π+x) A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 √ 易知函数f(x)的定义域R关于原点对称， ∵f(x)=xsin(π+x ... ...
