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课件网) 8.1.2 第八章 <<< 向量数量积的运算律 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式. 2.会利用向量的数量积证明垂直，求向量的夹角、模(长度)等. 学习目标 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 导 语 一、向量数量积的运算律 二、求向量的模和夹角 课时对点练 三、与垂直有关的问题 随堂演练 内容索引 四、向量在几何中的应用 一 向量数量积的运算律 1.平面向量数量积的运算律 运算律 向量数量积 交换律 a·b=b·a 数乘结合律 (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b) 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c (a-b)·c=a·c-b·c 2.常用结论： (1)(a±b)2=a2±2a·b+b2； (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2； (3)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a. (1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c=b·c，得不到a=b. (2)实数运算满足乘法结合律，但向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线. 注 意 点 <<< (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是 A. a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 例 1 √ √ √ 根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a-(c·a)·b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0， ∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a-b|组成三角形， ∴|a|-|b|<|a-b|成立，C正确；显然D正确. 向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处.例如，由a·b=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律. 反 思 感 悟 (1) (多选)关于非零向量a，b，c，下列结论正确的是 A.(a·b)c=a(b·c) B.|a·b|≥a·b C.若a·c=λb·c，则a=λb D.若a=λb，则a·c=λb·c 向量的数量积不满足结合律，A错误； |a·b|=||a||b|cos θ|≥a·b=|a||b|cos θ，B正确； a与b的方向不一定相同，C错误； 当a=λb时，a·c=λb·c，D正确. 跟踪训练 1 √ √ (2)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，a与-b的夹角为，则(a-b)·(2a+b)等于 A.1 B.3 C.-1 D.-5 因为a与-b的夹角为，则a与b的夹角为，又|a|=1，|b|=， 则a·b=1××=-1， 所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b-b2 =2×12-(-1)-()2=1. √ 二 求向量的模和夹角 (1)已知|a|=|b|=5，且|3a-2b|=5，则|3a+b|= . 例 2 ∵|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2 =9×25-12a·b+4×25=325-12a·b=25， ∴a·b=25. ∴|3a+b|2=(3a+b)2 =9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400， 故|3a+b|=20. 20 (2)设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角. ∵|n|=|m|=1且m与n的夹角是， ∴m·n=|m||n|cos=1×1×=. |a|=|2m+n|= = = =， |b|=|2n-3m|= = = =， a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2 =-6×1+2×1=-. 设a与b的夹角为θ， 则cos θ===-. 又∵θ∈[0，π]， ∴θ=，故a与b的夹角为. 反 思 感 悟 (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2，即|a|=，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos〈a，b〉=求出夹 角的余弦值，再求角.注意向量夹角的范围是[0，π]. (1)设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=，则a，b的夹角为 A. B. C. D. 跟踪训练 2 设a与b的夹角为θ，由题意得(3a-2b)2=7， ∴9|a|2+4|b|2-12a·b=7， 又|a|=|b|=1，∴a·b=， ∴|a||b|cos θ=，即cos θ=. 又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为. √ (2)已知|a|=1，|b|=3，且|a-b|=2，求|a+b|. 方法一 ∵|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=1+9-2 ... ...
