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课件网) 8.2.2 第八章 <<< 两角和与差的正切 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用. 学习目标 我们知道，在测量不可达建筑物时，一般要用到三角函数的方法.例如要测量中央电视塔的高度，就要在地面上选一条基线，以基线为边构造出直角三角形，利用正切函数以及两角和与差的正切值计算而得.那么两角和与差的正切公式是怎样的呢？ 导 语 一、两角和与差的正切公式 二、给值求值(角) 课时对点练 三、两角和与差的正切公式的综合应用 随堂演练 内容索引 一 两角和与差的正切公式 提示 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β， cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β； sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. 请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式. 问题1 提示 =tan α. 同角三角函数中的商数关系是什么？ 问题2 提示 tan(α+β)==. 用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β). 你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 问题3 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切公式 Tα+β tan(α+β)= α，β，α+β均不等于+kπ(k∈Z) 两角差的正切公式 Tα-β tan(α-β)= α，β，α-β均不等于+kπ(k∈Z) (1)只有当α，β，α+β≠+kπ(k∈Z)时，上述公式才能成立. (2)公式的符号变化简记为“分子同，分母反”. 注 意 点 <<< (1)tan 255°等于 A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 例 1 tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75° =tan(45°+30°)= √ ==2+. (2)化简等于 A. B. C.3 D.1 = =tan(45°-15°)=tan 30°=. √ 反 思 感 悟 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如 “1=tan”“=tan”，这样可以构造出利用公式的条件， 从而可以进行化简和求值. 利用公式Tα±β化简求值的两点说明 化简求值： (1)； 跟踪训练 1 原式=tan(74°+76°)=tan 150°=-. (2)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°. ∵tan 60°==， ∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°， ∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=. 二 给值求值(角) 根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？ 问题4 提示 Tα+β的变形： tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)； tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)； tan αtan β=1-. Tα-β的变形： tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)； tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β)； tan αtan β=-1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它 们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 求：(1)tan(α+β)的值； 例 2 由条件得cos α=，cos β=. ∵α，β为锐角，∴sin α==， sin β==. 因此tan α==7，tan β==. ∴tan(α+β)= ==-3. (2)tan(α+2β)的值. 由(1)知tan(α+β)=-3，tan β=， ∴tan(α+2β)=tan[(α+β)+β] ===-1. 若本例条件不变，求α+2β的值. 延伸探究 由本例(2)知tan(α+2β)=-1， ∵α，β∈， ∴0<α+2β<，∴α+2β=. 反 思 感 悟 (1)关于求值问题，利用角的变换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2) ... ...
