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课件网) 8.2.4 第八章 <<< 三角恒等变换的应用 1.能用倍角公式推导半角公式，体会其中的三角恒等变换的思想. 2.了解积化和差、和差化积两组公式的推导过程. 3.掌握三角恒等变换的简单应用. 学习目标 同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切，它们都属于三角变换.对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换. 导 语 一、半角公式 二、利用积化和差、和差化积公式化简、求值 课时对点练 三、积化和差、和差化积公式的应用 随堂演练 内容索引 四、利用三角恒等变换证明三角恒等式 一 半角公式 提示 α是的二倍角，利用二倍角余弦公式求解，sin =±，cos =±，tan =±，其中根号前的正负号，由角所在象限确定. 二倍角公式的变形：cos2α=，sin2α=，试用α的三角函数表示sin ，cos ，tan . 问题1 (1)：sin =_____. (2)：cos =_____. (3)：tan =_____. tan==. ± ± ± 半角公式中的“±”号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留“±”两个符号；若给出α的具体范围， 则先求的所在范围，然后再根据所在范围选用符号. 注 意 点 <<< 已知cos α=，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan . 例 1 sin =± =± =±， cos =± =± =±， tan = ± =±=±. ∵α为第四象限角， ∴为第二或第四象限角. 当为第二象限角时， sin =，cos=-，tan =-； 当为第四象限角时， sin =-，cos =，tan =-. 反 思 感 悟 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan==，其 优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式 的正、余弦值时，常先利用sin2=，cos2=计算. (4)下结论：结合(2)求值. 利用半角公式求值的思路 (1)已知|cos θ|=，<θ<3π，则sin 的值为 A.- B. C.- D. 跟踪训练 1 √ 由<θ<3π，可知角θ是第二象限角，所以cos θ=-. 而<<为第三象限角， 所以sin=-=-. (2)已知sin α=-，则tan= . 因为sin α=-，所以cos α=±. 若cos α=，则tan===-； 若cos α=-，则tan ===-2. -或-2 二 利用积化和差、和差化积公式化简、求值 提示 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β， ① cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β， ② 由①+②得cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]. 由①-②得sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. (1)怎样用cos(α+β)，cos(α-β)表示cos αcos β及sin αsin β呢？ 问题2 提示 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. 同(1)中方法可得 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]， cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. (2)怎样用sin(α+β)，sin(α-β)表示sin αcos β及cos αsin β呢？ 问题2 1.积化和差公式 (1)cos αcos β=_____. (2)sin αsin β=_____. (3)sin αcos β=_____. (4)cos αsin β=_____. [cos(α+β)+cos(α-β)] -[cos(α+β)-cos(α-β)] [sin(α+β)+sin(α-β)] [sin(α+β)-sin(α-β)] 2.和差化积公式 (1)cos x+cos y=_____. (2)cos x-cos y=_____. (3)sin x+sin y=_____. (4)sin x-sin y=_____. ... ...
