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课件网) 第二章 <<< 2.2 向量的减法 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量减法的定义. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减综合运算. 学习目标 我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”.我们能否类似地定义向量的减法呢？ 导 语 一、向量的减法的定义与法则 二、向量的减法运算 随堂演练 三、差向量的模 四、向量加、减法的应用 内容索引 课时对点练 一 向量的减法的定义与法则 在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量a-b可以怎样理解？ 问题1 提示 a-b=a+(-b). 1.定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的 向量，即a-b=a+(-b). 2.减法的作图：给定向量a与b，作有向线段=a，=b，故-b=，则a-b=a+(-b)=. 3.几何意义：如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a-b. 相反 (1)口诀：“共起点，连终点，箭头指向被减数”. (2)两个向量的差仍是一个向量. 注 意 点 <<< 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 例 1 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作=a， =b， 则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 方法二 如图②，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，连接OC，则=a+b-c. (1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 反 思 感 悟 求作两个向量的差向量的两种思路 如图，已知向量a，b，c，求作向量a-b-c. 跟踪训练 1 如图，在平面内任取一点O，作向量=a，=b， 则向量=a-b，再作向量=c， 则向量=a-b-c. 二 向量的减法运算 向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连则为和. (2)起点相同则为差. 化简： (1)； 例 2 . (2)(). () = = ==0. 反 思 感 悟 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简. (3)化简向量的差时要注意共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点. 化简向量的和、差的方法 (1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且的结果为 A.0 B. C. D. 跟踪训练 2 √ =() ==0. (2)化简下列各式： ①； = =. ②(). () = =) =. 三 差向量的模 提示 同向： 反向： 如果a∥b，怎样作出a-b呢？ 问题2 提示 若a与b方向相反，|a-b|=|a|+|b|； 若a与b方向相同，|a-b|=||a|-|b||； 若a与b不共线时，||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|. 结合问题2，探索|a|，|b|与|a-b|之间的大小关系如何？ 问题3 若a，b是不共线向量，则|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么？ 问题4 提示 如图所示，设=a，=b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有=a+b，=a-b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a+b|=||，|a-b|=||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 向量减法的三角不等式： ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.其中若a，b同向，左边等号成立；若a，b反向，右边等号成立；若a，b不共线，左、右两边等号均不成立；若a，b有一个为零向量，左、右两边等号均成立. 已知||的取值范围为 . 例 3 [2，16] ∵|||=9， ||=7， ∴2≤||≤16. ∴||的取值范围为[2，16]. 思考对任意的向量a与b，|a+b|≥|a-b|是否一定成立？ 不一定. 当a与b不共线时，则|a+b|与|a-b|分别表示以a，b为邻边的平行四边形两条对角线的长度，其大小不定； 当a与b为非零共线向量时，同向则有|a+b|>|a-b|， 异向则有|a+b|<|a-b|； 当a，b中有一个为零向量时，|a+b|=| ... ...
