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课件网) 第二章 <<< 4.2 平面向量及运算 的坐标表示 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.理解用坐标表示的平面向量共线的充要条件，能根据平面向量的坐标表示解决一些实际问题. 学习目标 在初中，我们知道，平面直角坐标系中的每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，从而可以把有关位置关系的问题转化成计算问题，这给我们的研究带来了很多方便.上节课所学的平面向量基本定理告诉我们，指定基底之后，对平面上的任何一个向量都存在一组有序数对，使该向量具有唯一的分解方式.那这组有序数对能否称为“向量的坐标”呢？建立了“向量的坐标”的概念会给对我们研究向量带来怎样的方便呢？通过今天的学习，我们会找到答案.下面让我们到知识的海洋里遨游吧！ 导 语 一、平面向量的坐标表示 二、平面向量运算的坐标表示 课时对点练 三、平面向量平行的坐标表示 随堂演练 内容索引 一 平面向量的坐标表示 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示，那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 问题1 提示 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，把(x，y)叫作向量a的坐标，记作a=(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标. 1.标准正交基 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为 . 2.坐标：对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作=a(通常称 = ，我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j｝下的坐标. 3.坐标表示：a=(x，y). 标准正交基 xi+yj (1)每个向量都有唯一的坐标. (2)相等的向量坐标相同. (3)注意点的坐标与向量的坐标的区别. 注 意 点 <<< 在平面直角坐标系中，向量a，b的位置如图所示，|a|=4，|b|=3，且∠AOx=45°，∠OAB=105°，分别求向量a，b的坐标. 例 1 如图，设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，由于∠AOx=45°， 所以a1=|a|cos 45°=4×a2=|a|sin 45°=4×. 由已知条件可以求得向量b与x轴正方向的夹角为120°， 所以b1=|b|cos 120°=3× b2=|b|sin 120°=3×. 故a=(2)，b=. 求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算. 反 思 感 悟 在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，分别计算出它们的坐标. 跟踪训练 1 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，c=(x3，y3)， 则x1=|a|cos 60°=2×=1，y1=|a|sin 60°=2×； x2=|b|cos 150°=1× y2=|b|sin 150°=1×； x3=|c|cos(-135°)=3× y3=|c|sin(-135°)=3×. 因此a=(1)，b=c=. 二 平面向量运算的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2). 数学公式 文字语言表述 向量加法 a+b=(x1+x2，y1+y2) 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a-b=(x1-x2，y1-y2) 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 向量数乘 λa=(λx1，λy1) 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量=(x2-x1，y2-y1)，即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标. (1)当向量起点在原点时，终点坐标就是向量的坐标. (2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)， 则此公式为线段AB的中点坐标公式. (3)若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，则三角形的重心坐标为. 注 意 点 <<< (1)若向量等于 A.(-6，-10) B.(2，4) C.(6，10) D.(-2，-4) 例 2 √ =-(4，7)+(2，3)= ... ...
