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课件网) 第二章 <<< 5.1 向量的数量积 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量与投影数量. 3.会利用向量数量积的运算律和性质进行计算或证明. 学习目标 前面我们学习了向量的加、减以及数乘运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 导 语 一、向量的数量积的定义 二、投影向量和投影数量 随堂演练 三、数量积的运算律 四、数量积的性质 内容索引 课时对点练 五、与垂直有关的问题 一 向量的数量积的定义 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功怎么表示？ 问题1 提示 W=|F||s|cos θ. 功是一个矢量还是标量？它的大小是由哪些量确定的？ 问题2 提示 功是一个标量，大小由力、位移及它们的夹角确定. 1.非零向量a，b的夹角记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)， 称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b. 即a·b=|a||b|cos〈a，b〉= . 规定零向量与任一向量的数量积为 . 2.当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b 0； 当〈a，b〉=90°时，a·b 0； 当90°<〈a，b〉≤180°时，a·b 0； 当〈a，b〉=0°时，a·b= ； 当〈a，b〉=180°时，a·b= . |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 > = < |a||b| -|a||b| (1)两向量的数量积，其结果是数量，其符号由夹角的余弦值决定. (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，注意a·b不能表示为a×b或ab. (3)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°. 注 意 点 <<< 已知正三角形ABC的边长为1，求： (1) 例 1 ∵的夹角为60°， ∴. ∵的夹角为120°， ∴. . ∵的夹角为60°， ∴. 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ. 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 反 思 感 悟 定义法求平面向量的数量积 已知|a|=2，|b|=5. (1)若a∥b，求a·b； 跟踪训练 1 当a∥b时，若a，b同向，则它们的夹角为0°， 所以a·b=|a||b|cos 0°=10； 若a，b反向，则它们的夹角为180°. 所以a·b=|a||b|cos 180°=-10. (2)若a⊥b，求a·b； 当a⊥b时，夹角为90°， 所以a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)若a，b夹角为60°，求a·b. 当a，b夹角为60°时，a·b=|a||b|cos 60°=5. 二 投影向量和投影数量 提示 如图所示，F1的大小为|F|cos θ. 在问题1中的实例中，与位移s方向一致的分力F1的大小是多少？ 问题3 1.投影向量： 如图，已知两个非零向量a和b，作=a=b，过点 A向直线OB作垂线，垂足为A'，得到向量γ=γ称为 a在b上的 . 2.投影数量： 称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为_____. 3.数量积a·b的几何意义： b的长度|b|与a在b方向上的投影数量 的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量 的乘积. 投影向量 |a|cos〈a，b〉 a· |a|cos θ |b|cos θ a在b上的投影向量，可能与b同向，可能反向，也可能为0，它的方向取决于θ角的范围. 注 意 点 <<< 已知|a|=9，|b|=10，a与b的夹角θ=30°. (1)求a·b； 例 2 a·b=|a||b|cos θ=9×10×cos 30°=45. (2)求a在b上的投影数量. a在b上的投影数量为 |a|cos θ=9×. 反 思 感 悟 (1)投影数量是一个数，可正、可负、可为零. (2)计算投影数量时要分清“谁是投影线”，即a在b方向上的 投影数量为|a|cos θ=a·；b在a方向上的投影数量为|b|cos θ =b·. 已知|a|=12，|b|=8，a·b=24，则a在b方向上的投影数量为 . 跟踪训练 2 a在b方向上 ... ...
