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课件网) 第二章 <<< 5.3 利用数量积计算 长度与角度 1.进一步熟悉向量数量积的定义及其坐标表示. 2.会利用向量数量积解决有关的长度与夹角等综合问题. 学习目标 向量的数量积是研究几何图形度量和位置关系问题的有力工具，涉及长度、夹角、平行、垂直等几何问题.通常可以运用向量的数量积运算加以解决. 导 语 一、向量模长的最值与范围 二、向量的夹角 课时对点练 三、平面几何中的长度与夹角问题 随堂演练 内容索引 一 向量模长的最值与范围 已知向量a=(1，0)，b=则 |a+b|的取值范围是_____. 例 1 ∵a=(1，0)， b==(cos θ，cos θ)， ∴a+b=(1+cos θ，cos θ)， ∵θ∈ ∴-1≤cos θ≤ ∴= 因此. (1)根据将其转化为有关量的函数，利用函数的性质求最值或范围. (2)利用向量数量积的定义或其几何意义，结合图形找到角的范围，进而确定向量模的最值或范围. 反 思 感 悟 向量模长的最值与范围问题的求解策略 在如图所示的平面直角坐标系中，已知A(1，0)，| |的最小值. 跟踪训练 1 设D(t，0)(0≤t≤1)，由题意可得C 所以 所以|(0≤t≤1)， 所以当t=. 二 向量的夹角 (1)同一平面上的三个单位向量a，b，c两两夹角都是则a-b与a+c的夹角是 A. B. C. D. 例 2 √ 由题意可得a·b= a·c= b·c=|b||c|cos 所以=1， 所以·(a+c)=a2+a·c-a·b-b·c =1-. 设a-b与a+c的夹角为θ， 则cos θ= 又0≤θ≤π， 所以a-b与a+c的夹角为. (2)已知a=(1，-2)，b=(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是 A.(-∞，-2)∪ B. C. D. √ 因为a与b的夹角θ为锐角，所以cos θ>0且cos θ≠1， 即a·b>0，且a与b的方向不同， 即a·b=1-2λ>0， 且1×λ≠-2×1，解得λ<且λ≠-2， 所以实数λ的取值范围是(-∞，-2)∪. 反 思 感 悟 (1)两向量夹角的范围是[0，π]. (2)两向量夹角余弦值的公式： 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则cos〈a，b〉= 选用定义式还是坐标形式，要根据所给条件而定. 求两向量夹角的注意点 已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)·(a+b)=. (1)求|b|； 跟踪训练 2 因为(a-b)·(a+b)= 即a2-b2=即|a|2-|b|2= 所以|b|2=|a|2- 故|b|=. (2)当a·b=-时，求向量a与a+2b的夹角θ的值. 因为|a+2b|2=|a|2+4a·b+|2b|2=1-1+1=1，故|a+2b|=1. 又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1- 所以cos θ= 又θ∈[0，π]，故θ=. 三 平面几何中的长度与夹角问题 (1)已知非零向量 则△ABC为 A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 例 3 √ ∵=0， ∴角A的角平分线所在的向量与垂直， ∴△ABC为等腰三角形. 又 ∴cos A=. 故△ABC为等边三角形. (2)在矩形ABCD中，AB=BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= . 如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(0)， 设(λ∈R)， 则点E的坐标为(3λλ)， 故). 因为BE⊥AC，所以=0， 即9λ+3λ-3=0，解得λ=所以E. 故 则| 即ED=. 反 思 感 悟 (1)基向量法：利用图形特点选择基，应用向量的数量积转化公式=a2求解. (2)坐标法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，若a=(x，y)，则. 利用向量法解决长度问题的方法 如图，在△ABC中，∠BAC=120°， AB=AC=3，点D在线段BC上，且BD=DC.求： (1)AD的长； 跟踪训练 3 设=a=b， 则 =) =a+b. 所以| =a2+a·b+b2 =×9=3， 故AD=. ∠DAC为向量的夹角. 则cos∠DAC== ==0， 即∠DAC=90°. (2)∠DAC的大小. 1.知识清单： (1)用向量数量积解决长度问题 (2)用向量数量积解决夹角问题. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：构造函数求最值与范围时，没有考虑自变量的取值范围. 随堂演练 四 1 2 ... ...
