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课件网) 第二章 <<< 6.2 平面向量在几何、 物理中的应用举例 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题. 学习目标 向量理论的发展有着深刻的几何背景.这一源泉最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念.莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表达位置、角度和运动，利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方便的几何证明和构造有时是很困难的.鉴于此，他提出了一个“新代数”，其中几何实体可以用符号来表示，并且这些符号可以直接进行运算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多的点和线.这就是向量. 导 语 一、用向量方法证明平面几何问题 二、向量的线性运算在物理中的应用 课时对点练 三、向量数量积在物理中的应用 随堂演练 内容索引 一 用向量方法证明平面几何问题 证明线线平行、三点共线问题，可用向量的哪些知识？ 问题1 提示 可用向量共线的相关知识： a∥b a=λb(b≠0，λ∈R) x1y2-x2y1=0(其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)). 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 问题2 提示 可用向量垂直的相关知识： a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0(其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)). 用向量证明平面几何问题的方法，常有哪两种思路？ 问题3 提示 (1)向量的线性运算法； (2)向量的坐标运算法. 1.几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角等都可以用_____表示. 2.用向量方法证明平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 向量的线性运算及数量积 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 例 1 方法一 设=a，=b， 则|a|=|b|，a·b=0. 又=-a+， =b+， 所以 =-a·b+|a|2+|b|2=0. 故，即AF⊥DE. 方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则=(1，-2). 因为=(2，1)·(1，-2)=2-2=0， 所以，即AF⊥DE. (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取一组基； ②用基表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题. 反 思 感 悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题. 反 思 感 悟 已知D，E，F分别为△ABC三边BC，AC，AB的中点.求证：AD，CF，BE相交于一点. 跟踪训练 1 如图，设=a，=b， 直线AD，BE交于点G.设，λ，μ∈(0，1)， 则=b-a+μ=b-a+μ=b-a+μa+(1-μ)b. 又=-λa+λb， 所以 则=a+=a+a+b. 又因为a+b.所以. 所以G在中线CF上，所以AD，CF，BE相交于一点. 二 向量的线性运算在物理中的应用 提示 物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量. 物理问题中有哪些量是向量？ 问题4 提示 力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等. 如何利用向量研究力、速度、加速度、位移等物理问题？ 问题5 1.用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 2.向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而 ... ...
