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课件网) 第二章 <<< 6.1.4 余弦定理、正弦定理应用举例 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 学习目标 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题.通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.今天我们就来学习如何解决此类问题. 导 语 一、高度问题 二、距离问题 课时对点练 三、角度问题 随堂演练 内容索引 一 高度问题 类型 图形 方法 底部可达 测量BC和∠BCA，解直角三角形求AB 底部不可达 点B与C，D共线 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，在C处测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是 A.10 m B.10 m C.10 D. m 例 1 √ 在△BCD中，CD=10 m，∠BDC=45°， ∠BCD=15°+90°=105°，所以∠DBC=30°， 由正弦定理，得， 故BC=(m). 在Rt△ABC中，tan 60°=， 故AB=BC×tan 60°=10(m). (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 反 思 感 悟 测量高度问题的解题策略 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m.(精确到1 m，≈1.414，sin 35°≈0.574) 跟踪训练 1 812 如图，过点D作DE∥AC交BC于点E， 因为∠DAC=20°，所以∠ADE=160°， 于是∠ADB=360°-160°-65°=135°. 又∠BAD=35°-20°=15°，所以∠ABD=30°. 在△ABD中，由正弦定理，得 AB=(m). 在Rt△ABC中，BC=ABsin 35°≈1 414×0.574≈812(m). 所以山的高度为812 m. 二 距离问题 1.基线 (1)在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫作基线. (2)在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2.测量距离问题的基本类型及求解方法 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理，再用余弦定理 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，求A，B两点的距离. 例 2 在△BCD中， ∠BDC=60°+30°=90°，∠BCD=45°， ∴∠CBD=90°-45°=∠BCD， ∴BD=CD=40，BC=. 在△ACD中， ∠ADC=30°，∠ACD=60°+45°=105°， ∴∠CAD=180°-(30°+105°)=45°. 由正弦定理，得AC=. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠BCA =(20=2 400， ∴AB=20， 故A，B两点之间的距离为20 m. 反 思 感 悟 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形. (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正弦定理、余弦定理求解. 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA=7 km，CB=5 km，C=60°，则A，B两点之间的距离为 km. 跟踪训练 2 由余弦定理，得 AB2=CA2+CB2-2CA·CB·co ... ...
