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课件网) 第四章 <<< 2.1 两角和与差的余弦 公式及其应用 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程. 2.理解用向量法推导出公式的主要步骤. 3.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 学习目标 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α-β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式. 导 语 一、两角和与差的余弦公式 二、给值求值 课时对点练 三、给值求角 随堂演练 内容索引 一 两角和与差的余弦公式 提示 =(cos β，sin β). =cos αcos β+sin αsin β. 如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A，B，则向量的坐标分别是什么？其数量积是什么？ 问题1 提示 |cos θ=cos θ=cos(α-β)，α-β=2kπ±θ，k∈Z. 可得结论：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 问题1中向量的夹角为 ，根据数量积定义等于什么？θ与α，β有什么关系？由此可得什么结论？ 问题2 提示 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 在问题2的结论中，把β换成-β，结论又是什么？ 问题3 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 Cα-β cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 Cα+β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β α，β∈R (1)公式巧记为：余余正正符号反. (2)公式中的α，β均为任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. (3)注意公式的逆用，如cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=cos[(α+β)-α] =cos β. 注 意 点 <<< 求下列各式的值： (1)cos ； 例 1 cos =-cos =- =- =-. (2)cos . 原式=cos =cos =cos =cos . (1)两特殊角之差(和)的余弦值，利用两角差(和)的余弦公式直接展开求解. (2)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差(和)，然后利用两角差(和)的余弦公式求解. 反 思 感 悟 两角差(和)的余弦公式常见题型及解法 求下列各式的值： (1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°)； 跟踪训练 1 原式=cos[θ+21°-(θ-24°)] =cos 45°=. (2)-sin 167°·sin 223°+sin 257°·sin 313°. 原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)·sin(360°-47°) =sin 13°sin 43°+sin 77°sin 47° =sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43° =cos(13°-43°)=cos(-30°) =. 二 给值求值 已知α，β∈求cos β的值. 例 2 因为α，β∈所以0<α+β<π， 由cos(α+β)=-得sin(α+β)= 又sin α= 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =-. 反 思 感 悟 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： ①α=(α-β)+β； 给值求值的解题策略 反 思 感 悟 ②α=； ③2α=(α+β)+(α-β)； ④2β=(α+β)-(α-β). (3)若通过对条件等式的运算，得到coscos，sinsin等结构的值，可考虑把它们看作整体，直接代入公式求解. 已知sin则cos α= . 跟踪训练 2 ∵α∈ ∴cos= ∴cos α=cos =cos ==. 三 给值求角 已知cos α=求β的值. 例 3 由cos α=得 sin α=. 由0<β<α<. 又∵cos(α-β)= ∴sin(α-β)= =. ∵β=α-(α-β)， ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =. ∵0<β< ... ...
