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课件网) 第四章 <<< 2.4 积化和差与和 差化积公式 1.理解根据公式Sα±β，Cα±β推导出积化和差与和差化积公式. 2.了解积化和差与和差化积公式的应用. 学习目标 和差化积公式最早出现在法国数学家韦达(1540~1603)写的三角学著作《标准数学》中，他还发现我们熟知的韦达定理.韦达不仅是代数学家，而且也是三角学家，更难得的是他能用三角知识求解代数方程. 同学们，我们要向韦达学习，好好学习三角函数知识，理解它们的逻辑脉络，达到综合贯通的目的. 导 语 一、积化和差公式 二、和差化积公式 课时对点练 三、公式的综合应用 随堂演练 内容索引 一 积化和差公式 提示 能. 由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β，cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β， 运用方程思想得， cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]； sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 利用公式探究Cα±β公式，能用cos(α±β)表示cos αcos β及sin αsin β吗？ 问题1 提示 能. 类似地由sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，运用方程思想得， sin αcos β= [sin(α+β)-sin(α-β)]. 利用公式探究Sα±β公式，能用sin(α±β)表示sin αcos β及 cos αsin β吗？ 问题2 cos αcos β= ； sin αsin β= ； sin αcos β= ； cos αsin β= . [cos(α+β)+cos(α-β)] -[cos(α+β)-cos(α-β)] [sin(α+β)+sin(α-β)] [sin(α+β)-sin(α-β)] (1)积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘常数的形式. (2)在积化和差公式中角α，β均为任意角. 注 意 点 <<< 把下列各式化为和差形式： (1)sin αsin 3α； 例 1 sin αsin 3α =-[cos(α+3α)-cos(α-3α)] =-(cos 4α-cos 2α) =cos 4α. (2)cos(α+β)cos(α-β)； cos(α+β)cos(α-β) ={cos[(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]} =(cos 2α+cos 2β) =cos 2β. (3)sin. sin = =[cos(A+B)+sin(A-B)] =sin(A-B). (1)积化和差公式的记忆口决：积化和差得和差，余弦在后要相加，异名函数取正弦，正弦相乘取负号. (2)积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和或差乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果. 反 思 感 悟 求下列各式的值： (1)2cos 50°cos 70°-cos 20°； 跟踪训练 1 2cos 50°cos 70°-cos 20° =cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20° =cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°=-. (2)sin 80°cos 40°-sin 40°. sin 80°cos 40°-sin 40° =sin 40° =sin 40° =. 二 和差化积公式 提示 (1)sin x+sin y=2sin ； (2)sin x-sin y=2cos ； (3)cos x+cos y=2cos ； (4)cos x-cos y=-2sin. 在积化和差公式中，令则得 到什么样的关系？ 问题3 sin x+sin y=2sin； sin x-sin y=2cos； cos x+cos y=2cos； cos x-cos y=-2sin . (1)和差化积公式中同名的正、余弦才能使用，不同名时需化为同名的再利用公式化为乘积的形式. (2)在和差化积公式中角x，y均为任意角. 注 意 点 <<< 把下列各式化为积的形式： (1)sin 104°+sin 16°； 例 2 sin 104°+sin 16° =2sin =2sin 60°cos 44°=cos 44°. (2)cos. cos =2cos =2cos αcos cos α. 反 思 感 悟 (1)在应用和差化积时，必须是一次同名(正切除外).若是异名，必须用诱导公式化为同名.若是高次函数，必须利用公式降为一次. (2)和差化积公式的记忆口决：“正加正，正在前，余加余，余并肩.正减正，余在前，余减余，负正弦”. 化简的结果为 A.tan α B.tan 2α C. D. 跟踪训练 2 原式==tan 2α. √ 三 公式的综合应用 ... ...
