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课件网) 第四章 <<< 3.1 二倍角公式 1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 学习目标 生活中我们常常遇见这样一种现象：对于一件商品，刚出现的时候，价格会非常高，随着时间的推移，商品的价格会逐渐下降，甚至出现打折的情况，反过来其实就是原始价格是现在价格的多少倍.对于这个“倍”字，我们自然而然地想到乘法和除法，对于乘法我们知道就是加法的另外一种运算，例如6=3+3=3×2.同样地，角与角之间也有一个倍数关系，例如：60度角是30度角的二倍，角2α是角α的二倍.那么角2α的三角函数值是怎么计算的呢？ 导 语 一、二倍角公式 二、给值求值(角) 随堂演练 三、三角函数式的化简与证明 四、二倍角公式在实际问题中的应用 内容索引 课时对点练 一 二倍角公式 请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式. 问题1 提示 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β； cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β； tan(α+β)=. 当α=β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 问题2 提示 sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α； cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α =cos2α-sin2α； tan 2α=tan(α+α)=. 上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 问题3 提示 cos 2α=cos2α-sin2α=1-sin2α-sin2α=1-2sin2α； cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1. 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α=_____ S2α 余弦 cos 2α=cos2α-sin2α= =_____ C2α 正切 tan 2α= T2α 2sin αcos α 2cos2α-1 1-2sin2α (1)二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是的二倍等. (2)公式中所含各角都要使三角函数有意义，而tan 无意义. 注 意 点 <<< 求下列各式的值： (1)sin2； 例 1 原式=- =-cos. (2)； 原式= =2× =2×=2. (3)cos 20°·cos 40°·cos 80°. 原式= = = =. (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系式对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 反 思 感 悟 对于给角求值问题，一般有两类 求下列各式的值： (1)sin ； 跟踪训练 1 原式=. (2)； 原式=. (3)cos4. 原式= =cos2 =cos . 二 给值求值(角) 提示 sin 2α=2sin αcos α= cos 2α=cos2α-sin2α=. 把上述关于cos 2α，sin 2α的式子能否变成只含有tan α形式的式子呢？ 问题4 升幂公式：1+cos 2α=2cos2α， 1-cos 2α=2sin2α， 1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α =(sin α±cos α)2. 降幂公式：cos2α=sin2α= (sin α±cos α)2=1±sin 2α. (1)已知sin则sin 2α的值为 A.- B. C. D. 例 2 √ ∵2α=2 ∴sin 2α=sin =-sin =-cos 2 =- =-. (2)在△ABC中，角A，B，C满足4sin2则角B的度数为 A. B. C. D. 在△ABC中，A+B+C=π，由4sin2 得4cos2B-4cos B+1=0. 于是cos B=. √ 反 思 感 悟 (1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： ①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； ②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 解决给值求值问题的方法 反 思 感 悟 (2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x=cos =2cos2. ②cos 2x=sin =2sin. (1)已知cos(13°+α)=-则sin(-64°+2α)的值为 A.- B. ... ...
