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课件网) 第四章 <<< 3.2 半角公式 1.能用二倍角公式推导出半角公式. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用. 学习目标 在利用二倍角公式解决问题时，已知角α的一个三角函数值和它所在的象限就可以求出这个角的二倍角的所有三角函数值.如果已知一个角α的一个三角函数值，能否求出这个单角的半角的所有三角函数值？ 导 语 一、半角公式 二、三角恒等式的证明 课时对点练 三、利用三角恒等变换研究函数的性质 随堂演练 内容索引 一 半角公式 提示 半角公式的推导是利用公式cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α变形转化得到的. 半角公式是如何推导出来的？ 问题 sin ； cos ； tan . (1)在半角公式中，sin所在的象限确定. (2)对于sin 中α≠(2k+1)π(k∈Z). 注 意 点 <<< 已知θ∈的值. 例 1 ∵θ∈. ∴cos θ=- ∴sin cos ∴tan=2. (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 反 思 感 悟 利用半角公式求值的思路 (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan 其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用 计算. 反 思 感 悟 已知sin α=等于 A.2- B. C. D.-2) 跟踪训练 1 √ 方法一 ∵sin α= ∴tan-2. 方法二 因为sin α= 所以 的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限， 所以tan >0， 故tan-2. 二 三角恒等式的证明 求证：=. 例 2 方法一 左边= ==右边. 所以原式成立. 方法二 左边= ===右边. 所以原式成立. 反 思 感 悟 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，即化异求同. (4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”. 三角恒等式证明的常用方法 求证：. 跟踪训练 2 左边= = ==右边. 所以原等式成立. 三 利用三角恒等变换研究函数的性质 已知函数f(x)=4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； 例 3 f(x)=4cos ωx·sin =2cos2ωx = =2sin. 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有=π，故ω=1. (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 由(1)知，f(x)=2sin. 若0≤x≤. 当 即0≤x≤时，f(x)单调递增； 当 即时，f(x)单调递减. 综上可知，f(x)在区间上单调递减. 反 思 感 悟 涉及三角函数性质(如单调性、周期性、对称性、最值等)时，通常借助辅助角公式将y=asin x+bcos x转化为y=Asin(x+φ)或y=Acos(x+φ)的形式，以便研究函数的性质. 已知函数f(x)=sin2x-sin2x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； 跟踪训练 3 由已知， 得f(x)= =cos 2x =. 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 因为- 所以- 所以f(x)在区间上单调递增， 且f 所以f(x)在区间. 1.知识清单： (1)半角公式. (2)三角恒等变换的综合问题. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域. 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知cos α=等于 A. B. C. D. √ ∵α∈ ∴. 2.已知等腰三角形的顶角的余弦值为则它的底角的余弦值为 A. B. C. D. √ 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α= 故选B. 1 2 3 4 3.化简：= . 1 2 3 4 原式===1. 4.已知sin = . 2 ∵ ∴1-sin α=. 又∵. ∴tan=2. 1 2 3 4 课时对点练 五 答案 对一对 题 ... ...
