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课件网) 3.1.3 第三章 <<< 组合数的性质 1.掌握组合数公式和组合数的性质. 2.能运用组合数的性质进行计算. 3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题. 学习目标 一、组合数的性质1 二、组合数的性质2 课时对点练 三、组合数公式的应用 随堂演练 内容索引 组合数的性质1 一 提示 上场的方案有种.不上场的方案有种.==56. 假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队上场的队员是5人.我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 问题1 组合数的性质1：= . (1)“互补性”. (2)等式两边下标相同，上标的和等于下标. 注 意 点 <<< (1)计算：= ，·= . 例 1 2 023 ==2 023，·=·=. (2)(多选)若=(n∈N+)，则n等于 A.4 B.5 C.6 D.7 √ √ 由题意得，2n-3=n+2或2n-3+n+2=20，解得n=5或7. 性质“=”的意义及作用 反 思 感 悟 (1)若=，则等于 A.1 B.10 C.11 D.55 跟踪训练 1 √ 由=，得n=6+5=11， ===11. (2)若=，则= . 28 由=， 得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18， 解得n=2或n=8(舍去)，故=28. 二 组合数的性质2 提示 一样，=+. 从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有种选法；当体育委员未入选时，有种选法.这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 问题2 组合数的性质2：+=. (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数. (2)体现了“含”与“不含”的分类思想. 注 意 点 <<< (1)已知m≥4，则-+等于 A.1 B.m C.m+1 D.0 例 2 √ -+=+-=-=0. (2)++++…+等于 A. B. C. D. √ 原式=++++…+ =+++…+ =++…+ … =+ ==. 若将式子换成“+++…+”，则其值为多少？ 延伸探究 +++…+ =+++…+- =++…+-1 … =+-1=-1. 反 思 感 悟 性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形=-，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用. (1)若-=，则n等于 A.12 B.13 C.14 D.15 跟踪训练 2 √ ∵=+=， ∴n+1=7+8，解得n=14. (2)+++…+等于 A. B. C.-1 D.-1 √ +++…+=+++…+=++…+=++…+=…=+=. 组合数公式的应用 三 (课本例3)一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ 例 3 因为共有8个球，所以共有不同的取法种数为=== =56. (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ 因为不取红球，所以只要在7个白球中取5个球即可，所以共有不同的取法种数为 ====21. (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 因为必须取红球，所以只需在7个白球中再取4个球即可，所以共有不同的取法种数为 ====35. 在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； 例 3 先选内科医生有种选法，再选外科医生有种选法，故有= 120(种)选派方法. (2)既有内科医生，又有外科医生. 既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有+++=246(种)选派方法. 若从反面考虑，则有-=246(种)选派方法. 反 思 感 悟 在求与两个基本计数原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏. 某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种. (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？ 跟踪训练 3 从20种真货中选取1件， ... ...
