【精品解析】【培优版】北师大版数学八年级上册 第七章 平行线的证明 章节测试卷

【培优版】北师大版数学八年级上册 第七章 平行线的证明 章节测试卷 阅卷人 一、选择题（每题3分，共24分） 得分 1．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③ 【答案】C 【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°， ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴，， ∴， ∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确； ∴∠BPD=180°-∠APB=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠APH=∠FPD=90°， ∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°， ∴∠APB=∠FPB， ∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB， ∴△ABP≌△FBP， ∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确； ∵∠DAB=∠CAD， ∴∠PAH=∠BFP， ∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP， ∴△APH≌△FPD， ∴AH=FD， 又∵AB=FB， ∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确； 连接HD，ED，如图： ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD， ∵∠HPD=90°，PH=PD， ∴∠HDP=∠DHP=45° ∴∠HDP=∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH=S△EPD， ∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD =S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD =S△ABP+S△APH+S△PBD =S△ABP+S△FPD+S△PBD =S△ABP+S△FBP =2S△ABP，④不正确； 故正确的有①②③； 故答案为：C. 【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案. 2．（2023八上·东西湖月考）如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（　　） A．∠1＋∠2＝90° B．2∠1＋∠2＝180° C．∠1－∠2＝90° D．2∠2－∠1＝30° 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P， 则MP+PQ+QN最小， 由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°， ∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN， ∴∠OPM=∠QPN=∠1 30°， ∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1 30°) ∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2， ∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA ∴∠OQP=∠3=30°+∠2， 在△MQP中，由内角和定理得∠1+∠OQP+∠QPM=180°， 即∠1+30°+∠2+180°-2(∠1 30°)=180°， 化简得∠1 ∠2=90°. 故答案为：D. 【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，由三角形外角性质得∠OPM=∠1 ∠O=∠1 30°，由轴对称及对顶角相等可得 ... ...