(
课件网) 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 类比以往对函数性质的研究，你认为应该研究正弦函数、余弦函数 的那些性质？ 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最大(小）值等。 【问题导入】 另外，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，即三角函数具有周而复始的变化规律。这就是三角函数最重要的规律：周期性。 周期性 请阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答下列问题： 什么是周期函数？什么叫做周期？ 一般的，设函数f (x)的定义域为D, 如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且 那么函数f (x)就叫做周期函数， 非零常数T叫做这个函数的周期. 存在一个非零常数T 每一个x∈D 【探究1】 问题1：观察单位圆上点的纵坐标这种周而复始的变化规律， 猜想正弦函数是否为周期函数？正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？ 正弦函数为周期函数. 我们得到： 1.正弦函数是周期函数； 2. 都是它的周期。 y=sinx 周期T 追问： 对周期函数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中“每一个”的要求.如果只是对某些 有 ，那么T就不是函数 的周期. 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期。 y=sinx 正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 。 追问：余弦函数是否为周期函数？周期是多少？ 1、余弦函数是周期函数； 2、 都是它的周期，且最小正周期为 y=cosx 【探究1】 例1 求下列函数的周期 【典例精析】 定义判断 整体换元 代数运算 思考： 1、回顾例题，你能发现形如 函数的周期性与解析式中哪些量有关？ 思考： 2、对形如 的函数，你能得到周期公式吗？ 【学以致用】 求下列函数的周期。 问题2：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？ 根据周期性，只要把握了函数在一个周期上的规律，就把握了整个函数的规律。 数学思想方法：特殊到一般 【探究1】 y=sinx 问题1：观察正弦函数的图象，你发现它有什么对称性？ 奇函数 【探究2】 对称轴： 对称中心： 偶函数 追问：余弦函数有怎样的对称性？ 对称轴： 对称中心： y=cosx 【探究2】 y=sinx 增区间为 [ ， ] x sinx … 0 … … … -1 0 1 0 -1 减区间为 [ ， ] 问题1：观察正弦函数的图象，y=sinx 在 有怎样的单调性？ 【探究3】 由周期性可得：正弦函数y=sinx 增区间为 减区间为 y=cosx x cosx - … … 0 … … -1 0 1 0 -1 追问：观察余弦函数的图象，y=cosx在 有怎样的单调性 ？ 【探究3】 增区间为 [- ，0 ] 减区间为 [ 0， ] 由周期性可得：余弦函数y=cosx 增区间为 [ - +2k , 2k ], k Z 减区间为 [ 2k , +2k ], k Z 当且仅当x= （k∈Z）时，(sinx)max=1 当且仅当x = （k∈Z）时，(sinx)min=-1 问题1：观察正弦函数图象，你发现它的最值何时取到？ 【探究4】 y=sinx 当且仅当x=2kπ(k∈Z)时，(cosx)max=1 当且仅当x= π+2kπ(k∈Z)时，(cosx)min=-1 追问：观察余弦弦函数图象，你发现它的最值何时取到？ y=cosx 【探究4】 请阅读教科书5.4.2节“2.奇偶性”“3.单调性”“4.最大值与最小值”的内容，完善以下表格： y=sinx y=cosx 定义域 值域 图象 周期 奇偶性 对称轴 对称中心 单调递增区间 单调递减区间 最大值点 最小值点 单调递增区间： 单调递减区间： 单调递增区间： 单调递减区间： 当且仅当x= (k∈Z)时，(sinx)max=1 当且仅当x = (k∈Z) 时(sinx)min=1 当且仅当x= (k∈Z)时，(cosx)max=1 当且仅当x= (k∈Z)时，(cosx)min=1 y=sinx y=cosx 图像 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期 奇偶性 奇函数 偶函数 对称轴 对称 ... ...
