2 圆的对称性 课时学习目标 素养目标达成 1.了解圆的轴对称性和中心对称性 几何直观、空间观念 2.探索圆的轴对称性和中心对称性及相关性质 抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识 基础主干落实 九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 1. 圆的 对称性圆是轴对称图形,其对称轴是 任意一条过圆心的直线 . 圆是中心对称图形,对称中心为 圆心 . 1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)圆的对称轴有无数条,是圆的任意一条直径.(×) (2)圆绕圆心旋转任意角度都能与本身重合.(√) 2. 圆心 角、 弧、 弦之 间的 关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等 、所对的弦 相等 . 推论:在同圆或等圆中,如果 两个圆心角 、 两条弧 、 两条弦 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 (简称:知一推二). 常见推理形式,如图: ①∠AOB= ∠COD ②= ③AB=CD 2.(1)如图,AB是☉O的直径,= =,若∠COD=35°,则 ∠AOE的度数是(C) A.35° B.55° C.75° D.95° (2)如图,在☉O中,=, ∠1=45°,则的度数为 45° . (3)若一条弦把圆分成1∶5两部分,则劣弧所对的圆心角为 60° . 重点典例研析 循道而行 方能致远 重点1 圆的对称性(几何直观、空间观念) 【典例1】(教材再开发·P72随堂练习T1拓展)世界上因为有了圆的图案,万物才显得富有生机,如图是来自现实生活中的图形,它们看上去多么美丽和谐,这正是因为它们具有对称性. (1)请从对称轴的条数方面找出这三幅图形中与其他两幅不同的图形. (2)请你再画出两个与所给图案不重复的图案,要体现对称和美观. 【自主解答】(1)第一幅图形有无数条对称轴,所以与其他两幅不同. (2)如图: (答案不唯一,仅供参考) 【举一反三】 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B) 【技法点拨】 圆的对称性 1.圆既是轴对称图形,也是中心对称图形. 2.对称轴是直线而不是线段,不能说每一条直径是它的对称轴. 3.圆的对称轴有无数条. 重点2 圆心角、弧、弦之间的关系(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P71例题拓展)如图,在☉O中,AB,CD是直径,CE∥AB且交圆于E,求证:=. 【自主解答】连接OE, ∵CE∥AB, ∴∠DOB=∠C,∠BOE=∠E, ∵OC=OE, ∴∠C=∠E, ∴∠DOB=∠BOE, ∴=. 【举一反三】 1.(2024·广州期末)如图,已知A,B,C,D是圆上的点,=,AC,BD交于点E,则下列结论正确的是(D) A.AB=AD B.BE=CD C.BE=AD D.AC=BD 2.(2024·济南期中)如图,AB,CD是☉O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是 64° . 3.如图,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=DC.求证:AC=BD. 【证明】∵AB=DC,∴=, ∴=,∴AC=BD. 【技法点拨】 “知一推二”的三点注意 (1)当已知两个圆心角相等时,必须限定同圆或等圆. (2)当两弦相等推导圆心角相等时,必须限定同圆或等圆. (3)当两弦相等推导弧相等时,除了限定同圆或等圆之外,还要限定两弧是同一类弧(劣弧或优弧). 素养当堂测评 (10分钟·20分) 1.(3分·几何直观、运算能力)如图,AB是☉O的直径,=,∠BOC=30°,则∠COD的度数是(D) A.150° B.140° C.130° D.120° 2.(3分·几何直观、运算能力)如图,在☉O中,==,则∠BOC的度数为(C) A.100° B.110° C.120° D.150° 3.(3分·运算能力、应用意识)如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为P.且点P在小量角器上对应的刻度为62°,那么点P在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于90°的角)(A) A.56° B.58° C.60° D.62° 4.(3分·几何直观、运算能力)如图,AB是☉O的直径,=,∠COB=40°,则∠A的度数是 55 °. 5.(8分·几何直观、推理能力)如图,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作☉A,交AD,BC于E,F,延长BA交☉A于G,求证:=. 【证明】连接AF, ∵AB=AF,∴∠A ... ...
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