5 三角函数的应用 6 利用三角函数测高 课时学习目标 素养目标达成 1.经历应用三角函数解决实际问题的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 模型观念、应用意识 2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算. 模型观念、应用意识、几何直观 3.会利用直角三角形的边角关系测物体的高度. 模型观念、应用意识、运算能力 基础主干落实 夯基筑本 积厚成势 新知要点 对点小练 1.方向角:指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角. 2.利用三角函数测高 类型关系结论测量倾斜角∠3=∠ 1 可测得∠3底部可以到达的物体的高度 MN=AC+AN· tan ∠MCE 由AN,AC, ∠MCE, 可得出MN底部不可以到达的物体的高度 MN=+AC由∠MCE, ∠MDE, AC,AB, 可得出MN 1.如图,小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发,他们的速度分别是3 m/s和4 m/s,则20 s后他们之间的距离为(D) A.70 m B.80 m C.90 m D.100 m 2.如图要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,点P位于点A正北方向,点C位于点A的西北方向,若测得PC=50米,则小河宽PA为 50 米. 重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒 重点1与方向角有关的问题(模型观念、运算能力、应用意识、几何直观) 【典例1】(教材溯源·P21习题T4·2024泸州中考)如图,海中有一个小岛C,某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上,该渔船由西向东航行一段时间后到达B点,测得小岛C位于北偏西30°方向上,再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点,这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A,C相距30 n mile.求C,D间的距离(计算过程中的数据不取近似值). 【解析】过C作CH⊥AB于点H, ∵∠CAB=45°,AC=30 n mile, ∴AH=CH=15 n mile, ∵∠CBH=60°, ∴BC===10(n mile), 过D作DG⊥AB于点G, ∴∠DBG=90°-60°=30°, ∴∠BDG=60°, ∴∠CDB=60°, ∴CD===20(n mile), 答:C,D间的距离为20 n mile. 【举一反三】 (2023·眉山中考)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 (6+6) 海里. 【技法点拨】 运用三角函数解决实际问题的三个步骤 重点2测量物体的高度(模型观念、运算能力、应用意识、几何直观) 【典例2】(教材再开发·P23补充例题)安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航,很多市民共同见证了这一历史时刻.如图,市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°,若斜坡CF的坡比为1∶3,铅垂高度DG=30 米(点E,G,C,B在同一水平线上).求飞机距离地面的高度.(结果保留根号) 【解析】过点D作DH⊥AB于点H,如图, ∵斜坡CF的坡比为1∶3,铅垂高度DG=30 米, ∴=, ∴CG=90 米, ∵DG⊥BG,AB⊥BG, ∴四边形BHDG是矩形, ∴BH=DG=30 米,DH=BG, ∵∠ABC=90°,∠ACB=45°, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴AB=BC, 设AB=BC=x 米,则AH=AB-BH=(x-30)米,DH=BG=CG+BC=(90+x)米, 在Rt△ADH中,tan∠ADH==, ∴=, 解得x=60+90, ∴AB=米, 答:飞机距离地面的高度为米. 【举一反三】 (2024·山西中考)研学实践:为重温解放军东渡黄河“红色记忆”,学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地,在了解相关历史背景后,利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据. 数据采集:如图,点A是纪念碑顶部一点,AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升,飞行至距离地面20米的点C处时,测得点A的仰角∠ACD=18.4°;然后沿CN方向继续飞行,飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°,当到达点A正上方的点E处时,测得AE=9米;…… 数据应用:已知图中各点均在同一竖直平面内,E,A,B ... ...
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